Somas Infinitas

Veja algumas maluquices com somas infinitas:

Quanto vale a soma \(1-1+1-1+1-1+1-1+1-...\)?

Sabia que ela pode ter 3 resultados diferentes?

Ela pode resultar em \(0\).

Colocaremos parênteses da seguinte forma:

\((1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+...\)

Como cada resultado entre parênteses resulta em \(0\), nós temos que \(1-1+1-1+1-1+1-1+1-...=0\).

Ela pode resultar em \(1\).

Colocaremos os parenteses de uma forma diferente:

\(1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+...\)

Como cada parêntese resulta em \(0\) e nós temos \(1\) sobrando, então o valor da soma é \(1\)

Ela pode resultar em um incrível \(\frac{1}{2}\)!

Chamaremos o resultado da soma de (S\):

\(1-1+1-1+1-1+1-1+1-...=S\)

Iremos fazer \(1-S\) ou seja \(1\) menos essa soma inteira:

\(1-S=1-(1-1+1-1+1-1+1-1+1-...)\)

Removendo os parênteses:

\(1-S=1-1+1-1+1-1+1-1+1-...)\)

Logo \(1-S\) é igual a soma inicial, ou \(S\):

\(1-S=S\)
\(1=2S\)
\(S=\frac{1}{2}\)!

Logo chegamos a essa conclusão meio absurda, mais que tem lógica!

Veja agora um vídeo do NumberPhile explicando como \(1+2+3+4+5+6+7+8+9+...=-\frac{1}{12}\):





Por último mais uma soma estranha:

Quanto vale \(1+2+4+8+16+32+64+...\)?

Vamos chamar de \(X\) a resposta da soma:

\(1+2+4+8+16+32+64+...=X\)

Vamos fazer o seguinte:

\(1+(2+4+8+16+32+64+...)=X\)

Deixando o 2 em evidência nos parênteses internos:

\(1+2(1+2+4+8+16+32+...)=X\)

Veja que temos a soma inicial novamente. Então temos:

\(1+2X=X\)

Logo \(X=-1\)!

Estranho não? Então até a próxima!