Questões de Olimpíadas e Concursos I

Hoje eu irei trazer algumas questões de olimpíadas que parecem difíceis mais não são. Hoje eu irei demonstrar problemas de Geometria.

OBMEP - 2013 Fase 1 Nível 3

16- Na figura, as retas DE e DF são paralelas, respectivamente, aos lados AC e BC do triângulo ABC. Os triângulos ADF e DBE têm áreas 16 e 9, respectivamente. Qual é a área do quadrilátero CFDE?

A) 18
B) 21
C) 24
D) 25
E) 27

Os triângulos AFD e EBD são semelhantes pelo lado do triangulo.

A razão das suas áreas é o quadrado da razão de razão de semelhança. Então a razão de semelhança é:

\(\frac{16}{9}={\frac{4}{3}}^{2}\) Logo a razão de semelhança é \(\frac{3}{4}\).

Como CFDE é um paralelogramo temos que CF=ED e daí \(\frac{AF}{CF}=\frac{AF}{ED}=\frac{4}{3}\)

Como os triângulos ABC e ADF são semelhantes, sua razão de semelhança é de:

\(\frac{AC}{AF}=\frac{AF+CF}{AF}=1+\frac{CF}{AF}=1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}\)

Logo a área do triângulo ABC é \({\frac{7}{4}}^{2}\times16=49\).

Logo a área do quadrilátero CFDE é de \(49-\left(9+16\right)=24\).

Assim a alternativa correta é a C.



OBMEP 2014 Fase 1 Nível 2 e 3

5. Na fi gura ao lado, ABCD e EFGC são quadrados de áreas R e S, respectivamente. Qual é a área da região cinza?

a) \(\frac{R+S}{2}\)
b) \(\frac{R-S}{2}\)
c) \(\frac{RS}{2}\)
d) \(\sqrt{RS}\)
e) \(\sqrt{{R}^{2}+{S}^{2}}\)

O lado do quadrado maior é \(\sqrt{R}\) e o lado do quadrado menor é \(\sqrt{S}\).

Traçaremos o segmento BG que divide a região cinza em 2 triângulos, ABG e BFG que cujo as áreas quando somadas resultam na área da região cinza.

A área do triângulo ABG é:

\(\frac{\sqrt{R}\times\sqrt{S}}{2}=\frac{R}{2}\)

A área do triângulo BGF é:

\(\frac{\sqrt{S}\times\sqrt{S}}{2}=\frac{S}{2}\)

Então a área da região cinza é:

\(\frac{R}{2}+\frac{S}{2}=\frac{R+S}{2}\)

Então a alternativa correta é a A.

Então é isso o próximo post será sobre lógica.