Dicas de Matemática e Física: 2015

segunda-feira, 21 de setembro de 2015

Método Para Extração de Raízes Cúbicas

Eu postei a um tempo atrás o método para extração de raízes quadradas. Agora irei demonstrar uma adaptação do método para extração das cúbicas.

sábado, 5 de setembro de 2015

Análise Combinatória II

Veremos a seguir mais um princípio na análise combinatória, a formação de arranjos.

O que são arranjos? Supõe-se que você tenha um determinado número de objetos e que você queria tomá-los par a para, isto é de dois em dois. De quantas maneiras você pode fazer isso? Veja a seguir o princípio de arranjos.

Arranjos com Repetição

Para resolver um problema de arranjo com repetição, isto é, se possível usaremos dois do mesmo item (duas letras A, dois números 1, etc).

Para isso usa-se a fórmula:

${ A }_{ p }^{ n }={ n }^{ p }$

Onde A significa arranjo, n o total de itens, e p o tamanho dos arranjos.

Exemplo:

Tendo os números do conjunto $C={1, 5, 9, 7, 8}$, quantos números de 3 algarismos podemos formar com esses números permitindo repetição de algarismos?

Usando a fórmula:

${ A }_{ p }^{ n }={ n }^{ p }$

${ A }_{ 3 }^{ 5 }={ 5 }^{ 3 }=125$

Logo podemos formar 125 números de 3 algarismos com os números do conjunto C.

Arranjo sem repetição.

Nesse caso não haverá repetição de itens do conjunto.

A fórmula nesse caso é:

${ A }_{ p }^{ n }=\frac { n! }{ \left( n-p \right) ! } $

Exemplo:

Com os números do conjunto $C={1, 5, 9, 7, 8}$, forme números de 3 algarismos distintos.

Agora faremos isso com a fórmula:

${ A }_{ 3 }^{ 5 }=\frac { 5! }{ \left( 5-3 \right) ! } = 60$

Logo podemos formar 60 números de 3 algarismos distintos com o números do conjunto C.

Então é isso.

quinta-feira, 3 de setembro de 2015

Análise Combinatória I

A analise combinatória serva para calcular agrupamento, posição, combinação ou modo de organização possíveis para n coisas.

Princípio Aditivo

Para esse nós somamos as possibilidades de escolha que são semelhantes.

1.) Em um salão de festas há seis saídas pela esquerda, duas pela direita, uma pelo fundo e quatro pela frente. De quantas maneiras você tem para sair do salão escolhendo apenas uma porta?

Basta somar, assim como o princípio aditivo diz, e teremos $6+2+1+4=13$ formas de sair do salão escolhendo uma porta.

Princípio Multiplicativo

No principio multiplicativo nós multiplicamos os conjuntos de possibilidades.

2.) Joana tem 3 blusas e 2 saias. De quantas maneiras ela pode se vestir?

Cada item que você escolher, gerará outras escolhas. Multiplicando essas escolhas nós teremos o número de maneiras. Para o exemplo acima nós podemos fazer um diagrama em árvore das maneiras que ela pode se vestir:

De acordo com o diagrama nós temos 3 opções de blusas, e cada blusa nos dá 2 opções de saia. Logo o total de maneiras que Joana pode se vestir é $2\times3=6$.

Permutações

O que são permutações? Permutação é a forma cuja a qual um grupo de objetos pode ser organizados.

3.) De quantas maneiras 5 pessoas podem formar uma fila? (Considere fila, uma linha onde cada pessoa fique um imediatamente atrás do outro)

Agora como resolver as permutações?

Façamos um esquema das posições da fila:

Temos as 5 posições da fila.

De quantas maneiras nós podemos preencher a primeira posição? Como temos 5 pessoas nós teremos 5 maneiras. Logo a pessoa A foi para a fila:

Agora de quantas maneiras nós podemos preencher a segunda posição? Como restaram 4 pessoas nós teremos 4 maneiras. Vez da pessoa B:

A B
5 4
Para preenchermos a terceira posição nós teremos 3 possibilidades, para a quarta 2 possibilidades e para a quinta 1 possibilidade (que serão das pessoas C, D e E):

A B C D E
5 4 3 2 1

Ao todo nós teremos $5\times4\times3\times2\times1=120$ maneiras diferentes. Nós multiplicamos pelo mesmo motivo do problema das roupas de Joana. Ao colocarmos A no lugar, teremos então 4 formas para por o B. Com o B surgem mais 3 possibilidades, e assim vai. Ao todo temos $5!$ de maneiras.

O que é $5!$? A notação $n!$ se lê (n fatorial\), e significa nada mais que a forma de permutar $n$ objetos. Você usará o fatorial muitas vezes em análise combinatória e probabilidade. A definição de fatorial nada mais é que:

$n!=1\times2\times3\times ... \times (n-1) \times n$

Exemplo:

$5!=5\times4\times3\times2\times1=120$

$4!=4\times3\times2\times1=24$

E é isso a primeira parte.

sábado, 29 de agosto de 2015

Método Luderiano Para Extração de Raízes Cúbicas

Essa é um método descoberto por Ludenir Santos do estado de Rio Grande do Sul. No post sobre raízes cúbicas de cubos perfeitos, Ludenir me autorizou a divulgar seu método.

Veja os slides a seguir mostrando o método (feito pelo próprio Ludenir):

Formula luderiana racional para raiz cubica from ludenir

terça-feira, 25 de agosto de 2015

As Cinco Escravas - Resposta

A resposta para o problema proposto anteriormente, e que é apresentado no livro "O Homem Que Calculava" de Malba Taham é apresentada a seguir.

Quando Beremiz perguntou para a primeira escrava "Qual a cor dos seus olhos", ele já sabia qual seria a resposta. E essa resposta era "Meus olhos são negros". Assim ele não precisou saber chinês.

Isso porque se, caso ela tivesse olhos negros ela diria a verdade. Mas se tivesse olhos azuis ela mentiria e falaria que os olhos dela eram negros.

Ao perguntar para a segunda "Qual a foi resposta dada pela sua companheira?", ele obteve como resposta "Ela disse: 'Meus olhos são azuis'". Isso como já sabemos é mentira, pois a única resposta possível é a dita acima. Logo a segunda tem olhos azuis.

Ao perguntar a terceira "Qual a cor dos olhos das duas escravas que já interroguei?", ele obteve como resposta "A primeira tem olhos negros e a segunda olhos azuis". Isso como sabemos é verdade, pois a segunda tem olhos azuis como já visto acima. Logo esta terceira tem olhos negros.

Com isso Beremiz conclui que a primeira e a terceira escravas tem olhos negros e a segunda e as duas últimas tem olhos azuis.

segunda-feira, 24 de agosto de 2015

As Cinco Escravas

Um problema do livro "O Homem Que Calculava" de Malba Taham conta a história de Beremiz Samir, um excelente calculista persa, cujo o qual entrou nas graças do povo ao resolver problemas com um alto nível de complexidade de uma forma simples. Um desses problemas é o das cinco escravas.

Um Califa propôs um desafio a Beremiz. Ele o apresentou cinco escravas que ele havia comprado recentemente. Elas estavam com os olhos cobertos assim Beremiz não conseguir ver suas respectivas cores.

O desafio era simples, fazendo três perguntas para qualquer uma das escravas, Beremiz deveria descobrir a cor de seus olhos.

Eram duas escravas de olhos negros e três de olhos azuis. As de olhos negros sempre dizem a verdade. Já as de olhos azuis mentem indefinidamente.

Então Beremiz chegou na primeira escrava e perguntou:

"De que cor são seus olhos"

A escrava respondeu em chinês, o que fez com que o califa a repreendesse e ordenasse que as próximas respondessem em persa. Era uma pergunta perdida para Beremiz.

Então ele se dirige a segunda e diz:

"Qual a resposta dada pela sua companheira?"

E ela responde:

"Ela disse: 'Meus olhos são azuis'"

Então ele se dirige a terceira e faz sua última pergunta:

"Qual a cor dos olhos das duas primeiras escravas que eu interroguei?"

E ela responde:

"A primeira tem olhos negros e a segunda olhos azuis"

Depois disso Beremiz se volta ao califa e lhe dá a resposta correta.

Como ele descobriu isso? Tente descobrir você. Resposta nos próximos posts.

quarta-feira, 8 de julho de 2015

Impulso e Quantidade de Movimento

Veja a seguir uma teleaula de física sobre Impulso e Quantidade de Movimento:

domingo, 5 de julho de 2015

Trabalho

O trabalho é dado multiplicando a força exercida em um corpo pela distância percorrida. Temos a fórmula então:

$\tau = F\cdot d$

Onde $\tau $ (tau) é o trabalho e é medido em Joules (J).

Exemplos:

1 - Qual o trabalho exercido para mover um corpo com uma força de 10 N por uma distância de 6 metros?

Usando a fórmula:

$\tau = F\cdot d$

$\tau = 10\cdot 6$

$\tau = 60J$

Resposta: 60 Joules.

2 - Um corpo de 6 kg é atingido por uma força de 30 N. Qual o trabalho exercido pela força após 5 segundos?

Primeiro devemos descobrir a aceleração que o corpo ficou:

$F=ma$

$30=6a$

$a=10\text{m/s}^2$

Agora a distância percorrida:

$S=S_o+V_ot+\frac{at^2}{2}$

$S=0+0+\frac{10\cdot5^2}{2}$

$S=5\cdot5^2$

$S=5*25$

$S=125$

Logo o corpo percorreu 125 metros. O trabalho gerado é de:

$\tau=F\cdot d$

$\tau=30\cdot125$

$\tau=3750J$

Resposta: 3750 Joules

quarta-feira, 1 de julho de 2015

Dinâmica Com Atrito I

O que é a força de atrito? A força de atrito é a força gerada pelo contato de duas superfícies. Existem dois tipo de atrito, o atrito estático que evita que o corpo se mova e o cinético o que tenta impedir que o corpo se mova. O atrito é dado por uma constante para uma superfície chamada de coeficiente de atrito $\mu$. A Força de atrito é calculada multiplicando essa constante pela força normal que a superfície exerce sobre o corpo.

Assim $F_{at}=\mu\cdot N$.

Veja alguns exemplos:

1-Na figura acima o bloco de massa 5 kg está sendo empurrado por uma força de 15 N. Sendo o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o chão $\mu=0.2$ calcule a aceleração do bloco e a força de atrito. Dado que g = 10 m/s².

Primeiro montaremos a equação dinâmica do bloco:

Temos que a força de atrito é dada pela fórmula $F_{at}=\mu\cdot N$. Calculando a força normal que é igual a força peso do bloco:

$P=mg$

$P=5\cdot10=50$

$P=N$

$N=50$

$F_{at}=\mu\cdot N$

$F_{at}=0.2\cdot50$

$F_{at}=25$

Logo a força de atrito é de 10 N.

Calculando a resultante sobre o bloco que é 15 - 10 = 5 temos:

$5=ma$

$5=5a$

$a=1$

Logo a aceleração é de 1 m/s².

2 - Na figura acima os blocos estão ligados por um fio ideal. O conjunto é puxado por uma força de 20 N. Seja a massa do bloco menor 2 kg e a do maior 3 kg e o coeficiente de atrito cinético entre os blocos $\mu=0.1$ calcule:

g = 10 m/s²

a) A força de Tração;

b) A força de atrito que age em cada bloco;

c) A aceleração do conjunto.

Montando a equação dinâmica do bloco de 20 N de peso:

Temos que as forças de tração e de atrito são opostas, logo:

$ma=T-F_{at}$

Calculando a força de atrito no bloco menor:

$F_{at}=\mu\cdot N$

como N = P temos:

$N = mg$

$N=2\cdot10=20$ que responde o item B.

logo:

$2a=T-0.1\cdot20$

$2a=T-2$

Fazendo o mesmo no bloco maior:

$ma=20-T-F_{at}$

$3a=20-T-F_{at}$

Força de atrito:

$F_{at}=\mu\cdot N$

$N=3\cdot10=30$

$F_{at}=0.1\cdot30$

$F_{at}=3$ respondendo o item B.

Logo:

$3a=20-T-3$

Usando as equações teremos:

$3a=20-T-3$

$2a=T-2$

somando as equações:

$2a+3a=10-T-3+T-2$

$5a=10-5$

$5a=15$

$a=3$ respondendo o item C.

Força de tração:

$2a=T-2$

$6=T-2$

$T=8$ respondendo o item A.

segunda-feira, 29 de junho de 2015

Dinâmica Sem Atrito II

Vão aqui mais alguns exemplos de dinâmica sem atrito usando a segunda lei de Newton:

1 - Na figura acima são mostrados dois blocos que estão ligados por um fio ideal (não estica), e são puxados com uma força de 15 N. Calcule:

a) A aceleração do conjunto;

b) A força de tração na corda.

Vamos primeiro montar as equações dinâmicas dos blocos:

Bloco A:

$F_A=m_aa$

$F_A=T$

$T=m_aa$

$T=3a$

Bloco B:

$F_B=m_ba$

$F_B=15-T$

$15-T=m_ba$

$15-T=5a$

Onde $T$ é a força de tração.

Tendo as equações nós resolveremos o sistema:

$T=3a$

$15-T=5a$

Logo:

$15-3a=5a$

$8a=15$

$a=1.875$

Logo a aceleração é de 1.875 m/s² respondendo o item A.

Calculando a tração T:

$T=3a$

$T=3\cdot 1.875$

$T=5.625$

Logo a força de tração é de 5.625 N respondendo o item B.

2 - No esquema acima os blocos estão em movimento. Desconsiderando qualquer atrito e considerando g = 10 m/s² calcule:

a) A aceleração do conjunto;

b) A força de tração.

Fazendo a equação dinâmica de cada bloco:

Bloco A:

Temos a força peso que age sobre ele e a força de tração que é oposta, logo:

$F_A=P-T$

$F_A=ma$

$m_aa=m_ag-T$

$4a=4\cdot10-T$

$4a=40-T$

Bloco B:

Age sobre ele a força de tração apenas. Logo:

$T=m_ba$

$T=2a$

Usando as equações temos:

$4a=40-T$

$T=2a$

Logo:

$4a=40-2a$

$6a=40$

$a=6.66$

Logo a aceleração é de 6.66 m/s² respondendo o item A.

Calculando a força de Tração:

$T=2a$

$T=2\cdot6.66$

$T=13.33$

Logo a força de tração é de 13.33 N respondendo o item B.

Então é isso. Na próxima trarei postarei sobre o atrito.

Dinâmica sem Atrito I

Como resolver problemas que envolvem a segunda lei de Newton? É bem simples:

1- Um corpo é atingido por uma força horizontal de 100 N e recebe uma aceleração de 10 m/s². Qual a sua massa?

É só usarmos a fórmula $F=ma$!

Assim temos:

$100=10m$

$m=10$

Logo o corpo pesa 10 Kg.

2- Um corpo é empurrado com uma força de 5 N. Sua massa é de 2 Kg. Qual a aceleração resultante?

De novo usaremos a a fórmula:

$F=ma$

$5=2a$

$a=2.5$

Logo a aceleração resultante é de 2.5 m/s².

3-Dois blocos são empurrados assim como na figura:

Calcule:

a) A aceleração do conjunto.

b) A força que um bloco faz no outro.

É bem simples. Faremos as equações dinâmicas dos blocos:

Chamaremos de Bloco A o de 2kg e Bloco B o de 3kg.

Bloco A:

A força que age sobre ele é a que o bloco B faz. Logo a equação fica:

$F_{r_A}=F_{ba}$

Bloco B:

A força que age sobre ele é a força que está atuando nesse caso a de 10 N, e a força que o bloco A exerce, logo:

$F_{r_B}=10-F_{ab}$

Como $F_{ab}=F_{ba}$ pelo princípio da ação e reação podemos chamar isso de força Y.

Logo temos que:

$F_{r_A}=F_{ba} \Rightarrow m_aa=Y$

$F_{r_B}=10-F_{ab}\Rightarrow m_ba = 10-Y$

Substituindo os valores que temos ficamos com as equações:

$3a = 10-Y$

$2a=Y$

Substituindo na equação 1 o valor de Y:

$3a=10-2a$

$5a=10$

$a=2$

Logo a aceleração do conjunto é 2 m/s².

Calculando a força Y:

$2a=Y$

\(2\cdot2=Y

$Y=4$

Logo a força que um bloco faz no outro é de 4N

domingo, 28 de junho de 2015

Teste Cinemática

Vão aqui 10 questões sobre cinemática que eu elaborei.

ProProfs Quiz- Cinemática - MRU, MRUV e MQL

Leis de Newton

Aqui vai o que eu sei sobre as leis de Newton:

Primeira Lei de Newton - Princípio da Inércia

"Um corpo em repouso tende a se manter em repouso e um corpo em movimento tende a se manter em movimento desde que nenhuma força aja sobre eles"

Supõe se que você esteja em pé no ônibus e de repente ele acelera. Você será jogado para trás porque você tende a se manter em repouso.

Agora que você está em movimento e em pé no ônibus, ele freia bruscamente e você é jogado para frente. Isso acontece por que você tende a se manter em movimento.

Segunda Lei de Newton - Princípio da Dinâmica

"A aceleração resultante em um corpo, é equivalente a razão entre a força aplicada sobre ele e sua massa"

Ou:

$\frac{F}{m}=a$

ou ainda:

$F=ma$

Terceira Lei de Newton - Princípio da ação e reação

"Se um corpo A exercer uma força sobre o corpo B, o corpo B exercerá uma força de mesma intensidade mas de sentido oposto no corpo A"

Isso quer dizer que para toda ação tem a sua reação.

Complemento à Terceira Lei de Newton - Força Peso

Massa e peso são coisas diferentes. Massa é a quantidade de matéria e é invariável. Já o peso é a força que você aplica sobre o planeta que pode ser variável.

Ela é dada pela fórmula:

$P=mg$

onde $g$ como já vimos é a aceleração da gravidade.

Assim essa força é a que você aplica no planeta e que o planeta aplica em você para você não afundar.

MQL

Movimento de Queda Livre

O movimento de queda livre é um MRUV onde a aceleração é a aceleração da gravidade.

Temos as mesmas fórmulas do MRUV porém a distancia agora é a altura (h) e a aceleração é a da gravidade (g):

$V_f=V_o\pm gt$

$h=h_o+V_ot \pm \frac{gt^2}{2}$

$V_f^2=V_o^2+2g \Delta h$

A aceleração da gravidade da Terra vale cerca de 9.807 m/s². É convencional usarmos 10 ou 9.8 para os cálculos:

Exemplo:

1-Uma pedra é largada do repouso a uma altura de 100 metros. Usando g=10 m/s² calcule o tempo que a pedra demorará para atingir o solo e sua velocidade ao atingir o solo:

Como a gravidade é a favor do movimento temos o sinal de + na equação.

Usando a fórmula da altura:

$h=h_o+V_ot + \frac{gt^2}{2}$

$100=0+0 + \frac{10t^2}{2}$

$100=5t^2$

$20=t^2$

$t=\sqrt{20}$

$t=4.47$

Logo a resposta é de aproximadamente 4.47 segundos

Calculando a velocidade:

$V_f=V_o\pm gt$

$V_f=0 \pm 10\cdot 4.47$

$V_f=44.7$

Resposta 44.7 m/s.

MRUV

Movimento Retilíneo Uniformemente Variado.

Nesse caso nós temos a variação da velocidade que chamamos de aceleração.

A aceleração é dada pela razão entre a velocidade e o tempo:

$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$

Agora veja um exemplo:

1- Um carro acelera do repouso para 20m/s em 4 segundos. Qual sua aceleração escalar média?

Usando a fórmula:

$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$

$a=\frac{20}{4}$

$a=5 \text{m/s}^2$

Logo a aceleração é 5 m/s².

O ao quadrado significa a variação do espaço sobre o tempo (velocidade) sobre o tempo (aceleração).

Outras fórmulas:

Variação da velocidade:

$V_f=V_o+at$

Função horária do movimento:

$S=S_o+V_ot+\frac{at^2}{2}$

E a Equação de Torricelli:

$V_f^2=V_o^2+2a \Delta S$

Mais um exemplo:

2- Um corpo parte do repouso e atinge a velocidade de 15 m/s após percorrer 30 metros. Qual a sua aceleração?

Como não temos o tempo, nós usaremos a equação de Torricelli:

$V_f^2=V_o^2+2a \Delta S$

$15^2=0+2\cdot 30 a$

$225=60a$

$a=3.75 \text{m/s}^2$

Logo a resposta é 3.75 m/s².

Então é isso.

MRU

MRU- Movimento retilíneo uniforme

Vejamos as regras do MRU:

O movimento é efetuado em linha reta (retilíneo);
A velocidade é constante e é dada pela razão entre distância e tempo;
A distância e o tempo são variáveis e dependem da velocidade.

Agora temos a fórmula para a velocidade média:

$V_m=\frac{\Delta S}{\Delta t}$

onde:

Vm é a velocidade média;

ΔS é a variação do espaço;

Δt é a variação do tempo;

Exemplos:

1- Um carro percorreu 100 km em 2 horas. Qual a sua velocidade média?

Temos os valores:

ΔS=100km

Δt=2 h

Logo:

$V_m=\frac{\Delta S}{\Delta t}$

$V_m=\frac{100}{2}$

$V_m=50km/h$

R: 50 km/h

2 - Márcia costuma caminhar no parque pela manhã. Ela percorre uma trilha do parque em 5 minutos. Se sua velocidade média é de 1 m/s, qual o tamanho da trilha?

Calculando com o que temos:

Vm = 1 m/s

Δt = 5 min ou 300 s

Calculando ΔS:

$V_m=\frac{\Delta S}{\Delta t}$

$1=\frac{\Delta S}{300}$

$\Delta S=300m$

R: Logo a trilha tem 300 metros.

Cinemática

Eu pensei em aumentar o campo de conhecimento compartilhado no blog e chegar na física. Começarei então pela cinemática, indo desde a cinética até dinâmica dos corpos.

segunda-feira, 23 de março de 2015

Desafio VI - Resposta

Aqui a resposta do último desafio:

Telma tinha $x$ reais. Quando ela achou 40 reais ela ficou com $x+40$, que é igual ao quíntuplo da quantia que ela teria se tivesse perdido 40 reais, ou seja, seria $5(x-40)$. Resolvendo essa equação:

$x+40=5(x-40)$

$x+40=5x-200$

$x=5x-240$

$-4x=-240$

$4x=240$

$x=60$

Logo Telma tinha 60 reais! Veja que ao retirar 40 reais dos 60 que ela tinha ela ficaria com 20. E 20 é a quinta parte de 100, a quantia que ela ficou ao achar os 40 reais.

domingo, 22 de março de 2015

Desafio VI

Resolva o problema:

"Telma achou R$40,00. Colocando os R$40,00 que ela achou junto com o dinheiro que ela tinha antes do achado, ela fica com 5 vezes mais que a quantia que ela teria se tivesse perdido R$40,00.

Quanto dinheiro Telma tinha antes de achar os R$40,00?"

Resposta no próximo post!

sábado, 21 de março de 2015

Trigonometria

Veja agora algumas vídeo aulas referentes a trigonometria:

Matemática Financeira - Equivalência de Capitais

Veja a outra teleaula sobre o tema:

Matemática Financeira - Aumentos e Descontos

Veja essa aula do Novo Telecurso (antigo Telecurso 2000) Que explica bem sobre o assunto:

Na próxima eu postarei a outra teleaula sobre o assunto!

Geometria Analítica II - Distância Entre 2 Pontos

Como achar a distancia entre 2 pontos em um plano cartesiano? É bem simples! Vamos encontrar a fórmula.

Temos 2 pontos no plano cartesiano:

Repare que podemos traçar um triangulo retângulo a partir desses pontos:

Veja que cada cateto do triangulo pode ser expresso da seguinte forma:

Como os X's e Y's são coordenadas que nós conhecemos (as coordenadas dos 2 pontos) nós aplicaremos o teorema de Pitágoras e acharemos a distancia entre esses pontos.

Chamaremos a distancia dos dois pontos de $D$ então:

${D}^{2}={({x}_{2}-{x}_{1})}^{2}+{({y}_{2}-{y}_{1})}^{2}$

Logo:

$D=\sqrt{{({x}_{2}-{x}_{1})}^{2}+{({y}_{2}-{y}_{1})}^{2}}$

Com essa fórmula nós podemos calcular a distância entre 2 pontos em um plano cartesiano! Vamos a um exemplo:

Vamos achar a distância entre os pontos acima.

Colocando eles na fórmula:

$D=\sqrt{{({x}_{2}-{x}_{1})}^{2}+{({y}_{2}-{y}_{1})}^{2}}$

$D=\sqrt{{(4-1)}^{2}+{(5-1)}^{2}}$

$D=\sqrt{{(3)}^{2}+{(4)}^{2}}$

$D=\sqrt{9+16}$

$D=\sqrt{25}$

$D=5$

Logo a distancia entre esses pontos é 5!

Até a próxima!

quinta-feira, 19 de março de 2015

Matemática Védica - Multiplicações em Casos Especiais

Existe uma forma de multiplicar em um caso especial. Números cujo o algarismo das unidades somam 10, e os outros algarismos são iguais.

Um exemplo disso é $26\times24$. Como você pode ver, 4+6 é 10 e os outros algarismos são iguais, nesse caso o 2. Assim para multiplicar é bem simples:

26
x 24
-------

6 vezes 4 é 24, então:

26
x 24
-------
24

2 vezes 2+1 é 6. Logo:

26
x 24
-------
624

Veja que isso serve todas as vezes:

53
x 57
-------

7 vezes 3 é 21:

53
x 57
-------
21

5 vezes 5+1 é 30, logo:

53
x 57
-------
3021

Vamos com números maiores:

102
x 108
--------

2 vezes 8 é 16:

102
x 108
--------

10 vezes 10+1 é 110, logo:

102
x 108
--------

11016

Vamos fazer outro número agora:

159

x 151

--------

9 vezes 1 é 9:

159

x 151

--------

15 vezes 15+1 é 240, logo:

159

x 151

--------

2409

E isso serve para qualquer número que siga a propriedade descrita acima!

Então é isso!

terça-feira, 17 de março de 2015

Geometria Analítica I - Como Encontrar a Equação Geral da Reta

Veja essa teleaula do Novo Telecurso (antigo Telecurso 2000) que explicará bem sobre isso:

Após ver essa teleaula você já saberá como calcular a equação geral de uma reta a partir de 2 pontos!

Na próxima eu falarei sobre distância entre 2 pontos.

segunda-feira, 16 de março de 2015

Matemática Védica - Divisão por Base

Como efetuar $12311111\div99970$ rapidamente? Pelo método tradicional você demoraria vários minutos para efetuar essa operação. Porém com o método védico você irá demorar pouco tempo.

A forma que você irá dividir é um pouco diferente do método tradicional. Você usará um operador diferente:

Vamos começar com exemplos simples $23\div9$:

Primeiro descemos o 2 na parte do quociente;
Depois multiplicamos o quociente 2 pela diferença 1, e colocamos abaixo do 3;
Somamos o 3 com o 2 e obtemos 5. Logo a divisão entre 23 e 9 resulta em 2 com resto 5.

Vamos dividir 31 por 9:

Primeiro descemos o 3 na parte do quociente;
Depois multiplicamos o quociente 3 pela diferença 1, e colocamos abaixo do 1;
Somamos o 3 com o 1 e obtemos 4. Logo a divisão entre 31 e 9 resulta em 3 com resto 4.

Vamos dividir 502 por 99 (I) e 617 por 95 (II):

Como nossa base 100 tem dois zeros, nós colocamos os 2 últimos algarismos do dividendo na segunda coluna;
Descemos o 5 e multiplicamos pela diferença 01 (o zero é necessário) e colocamos abaixo do 02;
Somamos o 02 com o 05 e colocamos o resultado 07 na parte do resto.
Então a divisão de 502 por 99 resulta em 5 e tem resto 07.

Como a nossa base 100 tem 2 zeros nós fazemos o mesmo que o exemplo anterior;
Descemos o 6 e multiplicamos pelo 05 e colocamos abaixo do 17;
Soamos o 30 com o 17 e obtemos 47;
Logo a divisão de 617 por 99 resulta em 6 e tem resto 47.

Agora vamos efetuar $12311111\div99970$:

Como nossa base 100000 tem cinco zeros nós colocamos os cinco últimos algarismos do dividendo na segunda coluna;
Descemos o 1 e multiplicamos por 00030, nossa diferença, e colocamos abaixo dos próximos números;
Descemos o 2 e multiplicamos por 00030 e colocamos abaixo dos próximos números;
Descemos o 3 e multiplicamos por 00030 e colocamos abaixo dos próximos números;
Soamos as parcelas na coluna da direita e colocamos no resto.
Logo a divisão entre 12311111 por 99970 é 123 com resto 14801.

Nos exemplos acima os ao somar o resto nós temos no primeiro exemplo um resto maior que o divisor. Isso não é possível. Logo nós subtraímos 88 de 99 que dá 11, que é o novo resto, e adicionamos 1 ao quociente.
No segundo exemplo nós fazemos o mesmo, subtraímos 897 de 970 e obtemos 73 como resto e adicionamos 1 ao quociente.

Traduzido do livro "Vedic Mathematics de Dhaval Bathia"

Então é isso!

domingo, 15 de março de 2015

Problemas de Interpretação Algébrica IV - Sua Vez

Agora você terá alguns exercícios para resolver. Clique em resposta para ir a resposta (não a resolução) do problema.

1.) A soma de um número com o seu dobro é 30. Que número é esse?

Resposta

2.) A soma de três números consecutivos é 33. Qual o menor deles?

Resposta

3.) A soma de um número com sua metade é 30. Que número é esse?

Resposta

4.) O quadrado de um número menos ele mesmo é 20. Que número é esse?

Resposta

5.) Marco gasta um quarto do seu salário com dividas, um quinto com despesas domésticas e ainda sobram 550 reais. De quanto é o salário de Marco?

Resposta

6.) O quíntuplo de um número mais ele mesmo é 42. Que número é esse?

Resposta

7.) A quarta parte de um número mais um terço desse mesmo número é 7. Que número é esse?

Resposta

8.) Maria comeu um quinto dos biscoitos em um pacote, deu um quarto do restante para sua irmã e guardou os 12 restantes. Quantos biscoitos haviam no pacote?

Resposta

9.) Para encher um quinto de uma caixa d'água são necessários 20 baldes. Se a caixa tem capacidade de 1000 litros, qual a capacidade do balde?

Resposta

10.) Um número mais o seu quadrado é 56. Qual é esse número?

Resposta

11.) Em um jardim, o quadrado da vigésima parte das abelhas em uma colmeia estavam no canteiro das tulipas, um quarto das abelhas no canteiro das margaridas e as 50 restante no canteiro das hortênsias. Quantas abelhas há na colmeia?

Resposta

12.) João e Joaquim tem juntos 240 reais. Joaquim tem o dobro de João. Quantos reais têm cada um?

Resposta

13.) A soma da sexta parte de um número mais um terço do número é 50. Qual é esse número?

Resposta

14.) O triplo de um número menos sua metade é 15. Que número é esse?

Resposta

15.) A soma de 5 números consecutivos é 15. Qual o maior deles?

Resposta

Respostas:

Questão 1

Questão 2

Questão 3

Questão 4

5 ou -4

Questão 5

1000 reais

Questão 6

Questão 7

Questão 8

20 biscoitos

Questão 9

10 litros

Questão 10

-8 ou 7

Questão 11

200 ou 100 abelhas

Questão 12

João tem 80 reais e Joaquim tem 160 reais.

Questão 13

100

Questão 14

Questão 15

5

Então é isso!

Matemática Védica - Divisão por Potências de 5

Como você faria par dividir 12548 por 125? Demoraria muito não? Porém há um método que você irá resolver isso rapidamente!

Divisão por 5

Para dividir por 5, é só multiplicar por 2 e dividir por10. Parece difícil mais não é:

Dividir 506 por 5:

Como temos ${5}^{1}$ nós multiplicaremos por ${2}^{1}$ e dividiremos por ${10}^{1}$:

\[\frac{206}{5}=\frac{206\times2}{10}=\frac{412}{10}=41.2\]

Vamos dividir 256 por 5:

Faremos o mesmo:

\[\frac{256}{5}=\frac{256\times2}{10}=\frac{512}{10}=51.2\]

Vamos dividir 125690 por 5:

\[\frac{125690}{5}=\frac{125690\times2}{10}=\frac{251380}{10}=25138\]

Divisão por 25

Para dividir por 25, é só multiplicar por 4 (2x2) e dividir por 100:

Dividir 1596 por 25:

\[\frac{1596}{25}=\frac{1596\times2\times2}{100}=\frac{6384}{100}=63.84\]

Dividir 2568 por 25:

\[\frac{2568}{25}=\frac{2568\times2\times2}{100}=\frac{10272}{100}=102.72\]

Dividir 126 por 25:

\[\frac{126}{25}=\frac{126\times2\times2}{100}=\frac{504}{100}=5.04\]

Divisão por 125

Para dividir por 125 é só multiplicar o número por 8 (2x2x2) e dividir por 1000:

Dividir 12566 por 125:

\[\frac{12566}{125}=\frac{12566\times2\times2\times2}{1000}=\frac{100528}{1000}=100.528\]

Dividir 189 por 125:

\[\frac{189}{125}=\frac{189\times2\times2\times2}{1000}=\frac{1512}{1000}=1.512\]

Dividir 250 por 125:

\[\frac{250}{125}=\frac{250\times2\times2\times2}{1000}=\frac{2000}{1000}=2\]

Então é isso!

sábado, 14 de março de 2015

Problemas de Interpretação Algébrica III

Vamos resolver alguns problemas mais complexos:

"O quadrado da oitava parte de um bando de macacos brincavam no bosque, e os 12 restante tagarelavam no alto da colina. De quantos macacos é constituído o bando?

O nosso $x$ é o número de macacos.

O quadrado da oitava parte é ${ \left( \frac { x }{ 8 } \right) }^{ 2 }$ ou ${ \frac { { x }^{ 2 } }{ 64 } }$

Então temos a equação:

${ \frac { { x }^{ 2 } }{ 64 } +12=x }$ ou ${ { x }^{ 2 }-64x+768=0 }$

Resolvendo:

$\Delta ={ \left( -64 \right) }^{ 2 }-4\cdot 768\cdot 1=4096-3072=1024$

Logo:

${ x }_{ 1 }=\frac { 64+32 }{ 2 } =48$

${ x }_{ 2 }=\frac { 64-32 }{ 2 } =16$

Logo o bando podia ser constituído por 48 ou 16 macacos.

"Há algumas araras em duas árvores. De repente, a terça parte das araras na primeira árvore voa para a segunda que inicialmente ostentava o quadrado de araras da primeira. Depois que as araras de acalmaram em seus galhos, a metade das araras da segunda árvore voa para a primeira que fica com 48 araras. Quantas araras há no total?

O nosso $x$ é o número de araras nas árvores. A primeira árvore tinha $x$ araras e a segunda tinha ${x}^{2}$ araras.

Faremos uma tabela com os voos das araras:

Temos a equação $\frac { 2x }{ 3 } +\frac { 3{ x }^{ 2 }+x }{ 6 } =48$ que equivale a essa outra equação:

$\frac { 3{ x }^{ 2 }++4x+x }{ 6 } =48$

Que forma uma equação do segundo grau:

$3{ x }^{ 2 }+5x-288=0$

Então é só resolver:

$\Delta ={ 5 }^{ 2 }-4\cdot 1\cdot \left( -288 \right) =3481$

Logo:

${ x }_{ 1 }=\frac { -5+\sqrt { 3481 } }{ 6 } =\frac { 59-5 }{ 6 } =9$

${ x }_{ 2 }=\frac { -5-\sqrt { 3481 } }{ 6 } =\frac { 5-59 }{ 6 } =-\frac { 32 }{ 3 } $

Como nós temos que ter um número natural de araras, a única solução possível é 9. Então a primeira árvore tinha 9 araras. E a segunda o quadrado de 9 que é 81. Logo haviam 90 araras no total!

sexta-feira, 13 de março de 2015

Problemas de Interpretação Algébrica II

Agora eu irei mostrar problemas de interpretação algébrica com equações quadráticas. Vamos começar do mais simples:

"O quadrado de um número mais 1 é igual a 50"

Como o nosso $x$ é o número desconhecido nós temos:

${x}^{2}+1=50$

${x}^{2}=49$

$x=7$

Logo esse número é o 7!

"O quadrado de um número mais o seu triplo é igual a 4. Qual é esse número?"

O número procurado é $x$. Então temos a equação:

${x}^{2}+3x=4$ ou ${x}^{2}+3x-4=0$

Resolvendo:

$\Delta = {3}^{2}-4\cdot(-4)\cdot1$

$\Delta = 9 + 16$

$\Delta=25$

Logo:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

${x}_{1}=\frac{-3 + \sqrt{25}}{2}$

${x}_{1}=\frac{-3+5}{2}$

${x}_{1}=\frac{2}{2}=1$

${x}_{2}=\frac{-3 -\sqrt{25}}{2}$

${x}_{2}=\frac{-3-5}{2}$

${x}_{1}=\frac{-8}{2}=-4$

Logo $S=\left\{ 1;-4 \right\} $

Na próxima parte eu trarei alguns problemas mais complexos!

Problemas de Interpretação Algébrica I

Sabe aqueles problemas de matemática que algumas vezes não aparece nenhum número? Parece um absurdo mas não é. É apenas interpretação de texto. A partir daí nós podemos fazer a tradução do português para o "matematiquês".

Vamos começar com equações de primeiro grau:

"Gasto um terço do meu salário com contas, um quarto com alimentação, e ainda sobram 200 reais. De quanto é o meu salário?"

Interpretando o problema descobrimos que o nosso $x$ é o valor total do salário da pessoa. Logo um terço e um quarto do salário seriam, respectivamente, $\frac{x}{3}$ e $\frac{x}{4}$.

Que conta devemos fazer? Uma adição:

$\frac{x}{3}+\frac{x}{4}+200=x$

O MMC de 3 e 4 é 12. Logo multiplicaremos a equação por 12:

$12(\frac{x}{3}+\frac{x}{4}+200)=12x$

$4x+3x+2400=12x$

Logo:

$7x+2400=12x$

$2400=5x$

$480$

Logo o salário da pessoa é de 480 reais!

"Foram usados um quarto de farinha em um saco pra fazer tortas, três quintos para fazer bolos e ainda sobraram um quilo e duzentos gramas. Qual o peso do saco de farinha inteiro em quilogramas?"

Interpretando o problema vemos que o nosso $x$ é a quantidade de farinha no saco. Foram usados para fazer a torta e o bolo, $\frac{x}{4}$ e $\frac{3x}{5}$, respectivamente.

Como sobraram 1 kg e 200 g nós iremos escrever $1.2$.

Logo a equação fica:

$\frac{x}{4}$+\frac{3x}{5}+1.2=x\)

Resolvendo:

O MMC de 4 e 5 é 20. Multiplicamos por 20:

$20(\frac{x}{4}$+ \frac{3x}{5} + 1.2)=20x\)

$5x+12x+24=20x$

$17x+24=20x$

$3x=24$

$x=8$

Logo são 8 quilos de farinha!

"A soma de 3 números consecutivos resulta em 93. Qual é o menor dos números?"

O nosso $x$ agora é o menor número. Os outros por virem depois desse (são consecutivos) nós representamos por $x+1$ e $x+2$. Assim a equação dica:

$x+x+1+x+2=93$

Resolvendo:

$3x+3=93$

$3x=90$

$x=30$

Logo o menor número da soma é 30!

Então é isso. Na próxima eu falarei sobre equações do segundo grau!

quinta-feira, 12 de março de 2015

Desafio V - Resposta

Se você for uma pessoa que usa o senso comum você deve ter respondido 10.

Mais se você for uma pessoa criativa, você deve ter respondido 11! Por que?

Todos os números da sequência são Palíndromos de um algarismo. Um palíndromo é um número que continua o mesmo quando lido ao contrário. Assim 12333321 é um palíndromo pois podemos ler o mesmo número ao contrário.

Assim 11 é o primeiro palíndromo de dois algarismos, seguido do 22, 33 e por ai vai!

Desafio V

Qual o próximo termo da sequência a seguir:

1,2,3,4,5,6,7,8,9...

Use a criatividade!

terça-feira, 10 de março de 2015

Resolução de Problemas II

Vamos resolver 2 problemas hoje:

1.) Um pequeno caminhão pode carregar 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se foram colocados no caminhão 32 sacos de areia, quantos tijolos pode ainda ele carregar?

Resolução:

Como o caminhão está carregando 32 sacos de areia, ele ainda poderá carregar 18 sacos.

Se 50 sacos equivalem a 400 tijolos, então 1 saco equivale a 8 tijolos. Assim os 18 sacos de areia equivalem à $18\times8=144$ tijolos.

2.)

"Quando ia a Bagdá

Encontrei um homem com 7 mulheres

Cada mulher tinha 7 sacos

Cada saco, 7 gatos

Cada gato, 7 gatinhos.

Gatinhos, gatos, sacos e mulheres

Quantos iam a Bagdá?"

Por onde começar?

Primeiro vamos fazer uma tabela com a quantidade das coisas:

	Quantidade	Total
Homens	O que ia a Bagdá e o que ele encontrou	2
Mulheres	7 mulheres estavam com o homem	7
Sacos	Cada mulher tinha 7 sacos 7 x 7	49
Gatos	Cada saco tinha 7 gatos 49 x 7	343
Gatinhos	Cada gato tinha 7 gatinhos 343 x 7	2401

Como se pede o total de pessoas e objetos que estão indo a Bagdá, nós somamos os totais:

$2+7+49+343+2401=2802$

Logo a resposta é 2802.

Desafio IV - Resposta

Nós usaremos uma propriedade da P. A. que é a da diferença constante.

A P. A. é:

$a$, $b$, $30$, $c$ e $d$

Temos o primeiro termo que será:

$a$

O segundo termo será:

$a+r$ onde $r$ é a razão.

O terceiro termo, que é 30, será:

$a+2r$

O quarto termo será:

$a+3r$

E por fim o quinto termo será:

$a+4r$

Vamos somar os termos que o problema pede:

$a+4r+a+3r+a+r+a=4a+8r$

Perceba que $4a+8r$ é o quadruplo de $a+2r$ que é o terceiro termo. Como o terceiro termo é 30 a soma dos outros termos será $30\times4=120$!

Até a próxima!

Resolução de Problemas I

Agora eu irei mostrar a resolução de alguns problemas "difíceis" :
1.) Duas amigas, Ana e Marcela querem descobrir quantos degraus são visíveis numa escada rolante. Para isso foi feito o seguinte: as duas amigas começaram a subir a escada juntas, Ana ia subindo um degrau de cada vez, enquanto que Marcela subia dois . Ao chegar ao topo, Ana contou 21 degraus enquanto Marcela contou 28. Com esses dados foi possível responder a questão. Quantos degraus são visíveis nessa escada rolante? (obs: a escada está andando).

Vamos a resolução:

Marcela subiu de 2 em 2 degraus, e ela contou 28, como ela anda de 2 em 2 ela deu 14 passos. Enquanto isso Ana por andar de 1 em 1, deu 14 passos também.

Como a escada está andando, ao mesmo tempo que Ana andou 14 e Marcela 28, a escada já teria andado X degraus.

Como Ana chegou ao andar 21 degraus, e ela já andou 14, faltam ainda 7 degraus para subir. Como ao subir 14 degraus a escada andou X degraus. Ao andar 7 a escada andará X/2 degraus.

Sendo assim o número de degraus visto por ambas as amigas deve ser o mesmo. Assim:

$28+X=(14+X)+(7+(\frac{X}{2}))$

$28+X = 21+(\frac{3X}{2})$

3X/2-X=28-21

X/2=7

$X=14$

Se $X=14$ O numero de degraus visíveis para Marcela é:

$X=14+28=42$

Para Ana o número de degraus será o mesmo:

$(14+X)+(7+(\frac{X}{2})) = (14+14)+(7+14/2) = 28+14 = 42$

Esse foi o primeiro problema. Futuramente eu postarei mais (é como se esse post fosse um piloto).