Método Para Extração de Raízes Cúbicas

Eu postei a um tempo atrás o método para extração de raízes quadradas. Agora irei demonstrar uma adaptação do método para extração das cúbicas.

           

 

Análise Combinatória II

Veremos a seguir mais um princípio na análise combinatória, a formação de arranjos.

O que são arranjos? Supõe-se que você tenha um determinado número de objetos e que você queria tomá-los par a para, isto é de dois em dois. De quantas maneiras você pode fazer isso? Veja a seguir o princípio de arranjos.

Arranjos com Repetição

Para resolver um problema de arranjo com repetição, isto é, se possível usaremos dois do mesmo item (duas letras A, dois números 1, etc). 

Para isso usa-se a fórmula:

\({ A }_{ p }^{ n }={ n }^{ p }\)

Onde A significa arranjo, n o total de itens, e p o tamanho dos arranjos.

Exemplo:

Tendo os números do conjunto \(C={1, 5, 9, 7, 8}\), quantos números de 3 algarismos podemos formar com esses números permitindo repetição de algarismos?

Usando a fórmula:

\({ A }_{ p }^{ n }={ n }^{ p }\)

\({ A }_{ 3 }^{ 5 }={ 5 }^{ 3 }=125\)

Logo podemos formar 125 números de 3 algarismos com os números do conjunto C.

Arranjo sem repetição.

Nesse caso não haverá repetição de itens do conjunto.

A fórmula nesse caso é:

\({ A }_{ p }^{ n }=\frac { n! }{ \left( n-p \right) ! } \)

Exemplo:

Com os números do conjunto \(C={1, 5, 9, 7, 8}\), forme números de 3 algarismos distintos.

Agora faremos isso com a fórmula:

\({ A }_{ 3 }^{ 5 }=\frac { 5! }{ \left( 5-3 \right) ! } = 60\)

Logo podemos formar 60 números de 3 algarismos distintos com o números do conjunto C.

Então é isso.

Análise Combinatória I

A analise combinatória serva para calcular agrupamento, posição, combinação ou modo de organização possíveis para n coisas.

Princípio Aditivo

Para esse nós somamos as possibilidades de escolha que são semelhantes.

1.) Em um salão de festas há seis saídas pela esquerda, duas pela direita, uma pelo fundo e quatro pela frente. De quantas maneiras você tem para sair do salão escolhendo apenas uma porta?

Basta somar, assim como o princípio aditivo diz, e teremos \(6+2+1+4=13\) formas de sair do salão escolhendo uma porta.

Princípio Multiplicativo

No principio multiplicativo nós multiplicamos os conjuntos de possibilidades.

2.) Joana tem 3 blusas e 2 saias. De quantas maneiras ela pode se vestir?

Cada item que você escolher, gerará outras escolhas. Multiplicando essas escolhas nós teremos o número de maneiras. Para o exemplo acima nós podemos fazer um diagrama em árvore das maneiras que ela pode se vestir:

De acordo com o diagrama nós temos 3 opções de blusas, e cada blusa nos dá 2 opções de saia. Logo o total de maneiras que Joana pode se vestir é \(2\times3=6\).

Permutações

O que são permutações? Permutação é a forma cuja a qual um grupo de objetos pode ser organizados.

3.) De quantas maneiras 5 pessoas podem formar uma fila? (Considere fila, uma linha onde cada pessoa fique um imediatamente atrás do outro)

Agora como resolver as permutações?

Façamos um esquema das posições da fila:

                            

Temos as 5 posições da fila.

De quantas maneiras nós podemos preencher a primeira posição? Como temos 5 pessoas nós teremos 5 maneiras. Logo a pessoa A foi para a fila:

 A                         

 5

Agora de quantas maneiras nós podemos preencher a segunda posição? Como restaram 4 pessoas nós teremos 4 maneiras. Vez da pessoa B:

 A    B                   
  5    4
Para preenchermos a terceira posição nós teremos 3 possibilidades, para a quarta 2 possibilidades e para a quinta 1 possibilidade (que serão das pessoas C, D e E):

 A    B    C    D    E 
  5    4     3     2    1

Ao todo nós teremos \(5\times4\times3\times2\times1=120\) maneiras diferentes. Nós multiplicamos pelo mesmo motivo do problema das roupas de Joana. Ao colocarmos A no lugar, teremos então 4 formas para por o B. Com o B surgem mais 3 possibilidades, e assim vai. Ao todo temos \(5!\) de maneiras.

O que é \(5!\)? A notação \(n!\) se lê (n fatorial\), e significa nada mais que a forma de permutar \(n\) objetos. Você usará o fatorial muitas vezes em análise combinatória e probabilidade. A definição de fatorial nada mais é que:

\(n!=1\times2\times3\times ... \times (n-1) \times n\)

Exemplo:

 \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\)

 \(4!=4\times3\times2\times1=24\)

E é isso a primeira parte.