Análise Combinatória I

A analise combinatória serva para calcular agrupamento, posição, combinação ou modo de organização possíveis para n coisas.

Princípio Aditivo

Para esse nós somamos as possibilidades de escolha que são semelhantes.

1.) Em um salão de festas há seis saídas pela esquerda, duas pela direita, uma pelo fundo e quatro pela frente. De quantas maneiras você tem para sair do salão escolhendo apenas uma porta?

Basta somar, assim como o princípio aditivo diz, e teremos \(6+2+1+4=13\) formas de sair do salão escolhendo uma porta.

Princípio Multiplicativo

No principio multiplicativo nós multiplicamos os conjuntos de possibilidades.

2.) Joana tem 3 blusas e 2 saias. De quantas maneiras ela pode se vestir?

Cada item que você escolher, gerará outras escolhas. Multiplicando essas escolhas nós teremos o número de maneiras. Para o exemplo acima nós podemos fazer um diagrama em árvore das maneiras que ela pode se vestir:

De acordo com o diagrama nós temos 3 opções de blusas, e cada blusa nos dá 2 opções de saia. Logo o total de maneiras que Joana pode se vestir é \(2\times3=6\).

Permutações

O que são permutações? Permutação é a forma cuja a qual um grupo de objetos pode ser organizados.

3.) De quantas maneiras 5 pessoas podem formar uma fila? (Considere fila, uma linha onde cada pessoa fique um imediatamente atrás do outro)

Agora como resolver as permutações?

Façamos um esquema das posições da fila:

                            

Temos as 5 posições da fila.

De quantas maneiras nós podemos preencher a primeira posição? Como temos 5 pessoas nós teremos 5 maneiras. Logo a pessoa A foi para a fila:

 A                         

 5

Agora de quantas maneiras nós podemos preencher a segunda posição? Como restaram 4 pessoas nós teremos 4 maneiras. Vez da pessoa B:

 A    B                   
  5    4
Para preenchermos a terceira posição nós teremos 3 possibilidades, para a quarta 2 possibilidades e para a quinta 1 possibilidade (que serão das pessoas C, D e E):

 A    B    C    D    E 
  5    4     3     2    1

Ao todo nós teremos \(5\times4\times3\times2\times1=120\) maneiras diferentes. Nós multiplicamos pelo mesmo motivo do problema das roupas de Joana. Ao colocarmos A no lugar, teremos então 4 formas para por o B. Com o B surgem mais 3 possibilidades, e assim vai. Ao todo temos \(5!\) de maneiras.

O que é \(5!\)? A notação \(n!\) se lê (n fatorial\), e significa nada mais que a forma de permutar \(n\) objetos. Você usará o fatorial muitas vezes em análise combinatória e probabilidade. A definição de fatorial nada mais é que:

\(n!=1\times2\times3\times ... \times (n-1) \times n\)

Exemplo:

 \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\)

 \(4!=4\times3\times2\times1=24\)

E é isso a primeira parte.