Desafio VI - Resposta

Aqui a resposta do último desafio:

Telma tinha \(x\) reais. Quando ela achou 40 reais ela ficou com \(x+40\), que é igual ao quíntuplo da quantia que ela teria se tivesse perdido 40 reais, ou seja, seria \(5(x-40)\). Resolvendo essa equação:

\(x+40=5(x-40)\)

\(x+40=5x-200\)

\(x=5x-240\)

\(-4x=-240\)

\(4x=240\)

\(x=60\)

Logo Telma tinha 60 reais! Veja que ao retirar 40 reais dos 60 que ela tinha ela ficaria com 20. E 20 é a quinta parte de 100, a quantia que ela ficou ao achar os 40 reais.

Desafio VI

Resolva o problema:

"Telma achou R$40,00. Colocando os R$40,00 que ela achou junto com o dinheiro que ela tinha antes do achado, ela fica com 5 vezes mais que a quantia que ela teria se tivesse perdido R$40,00. 

Quanto dinheiro Telma tinha antes de achar os R$40,00?"

Resposta no próximo post!

Trigonometria

Veja agora algumas vídeo aulas referentes a trigonometria:

Matemática Financeira - Equivalência de Capitais

Veja a outra teleaula sobre o tema:

Matemática Financeira - Aumentos e Descontos

Veja essa aula do Novo Telecurso (antigo Telecurso 2000) Que explica bem sobre o assunto:




Na próxima eu postarei a outra teleaula sobre o assunto!

Geometria Analítica II - Distância Entre 2 Pontos

Como achar a distancia entre 2 pontos em um plano cartesiano? É bem simples! Vamos encontrar a fórmula.

Temos 2 pontos no plano cartesiano:

Repare que podemos traçar um triangulo retângulo a partir desses pontos:

Veja que cada cateto do triangulo pode ser expresso da seguinte forma:

Como os X's e Y's são coordenadas que nós conhecemos (as coordenadas dos 2 pontos) nós aplicaremos o teorema de Pitágoras e acharemos a distancia entre esses pontos.

Chamaremos a distancia dos dois pontos de \(D\) então:

\({D}^{2}={({x}_{2}-{x}_{1})}^{2}+{({y}_{2}-{y}_{1})}^{2}\)

Logo:

\(D=\sqrt{{({x}_{2}-{x}_{1})}^{2}+{({y}_{2}-{y}_{1})}^{2}}\)

Com essa fórmula nós podemos  calcular a distância entre 2 pontos em um plano cartesiano! Vamos a um exemplo:

Vamos achar a distância entre os pontos acima.

Colocando eles na fórmula:

\(D=\sqrt{{({x}_{2}-{x}_{1})}^{2}+{({y}_{2}-{y}_{1})}^{2}}\)

\(D=\sqrt{{(4-1)}^{2}+{(5-1)}^{2}}\)

\(D=\sqrt{{(3)}^{2}+{(4)}^{2}}\)

\(D=\sqrt{9+16}\)

\(D=\sqrt{25}\)

\(D=5\)

Logo a distancia entre esses pontos é 5!

Até a próxima!

Matemática Védica - Multiplicações em Casos Especiais

Existe uma forma de multiplicar em um caso especial. Números cujo o algarismo das unidades somam 10, e os outros algarismos são iguais.

Um exemplo disso é \(26\times24\). Como você pode ver, 4+6 é 10 e os outros algarismos são iguais, nesse caso o 2. Assim para multiplicar é bem simples:

   26
x 24
-------

6 vezes 4 é 24, então:

   26
x 24
-------
     24

2 vezes 2+1 é 6. Logo:

   26
x 24
-------
  624

Veja que isso serve todas as vezes:

   53
x 57
-------

7 vezes 3 é 21:

   53
x 57
-------
      21

5 vezes 5+1 é 30, logo:

   53
x 57
-------
 3021

Vamos com números maiores:

   102
x 108
--------

2 vezes 8 é 16:

   102
x 108
--------

     16

10 vezes 10+1 é 110, logo:

   102
x 108
--------

11016

Vamos fazer outro número agora:

   159

x 151

--------

9 vezes 1 é 9:

   159

x 151

--------

       9

15 vezes 15+1 é 240, logo:

   159

x 151

--------

  2409

E isso serve para qualquer número que siga a propriedade descrita acima! 

Então é isso!

Geometria Analítica I - Como Encontrar a Equação Geral da Reta

Veja essa teleaula do Novo Telecurso (antigo Telecurso 2000) que explicará bem sobre isso:




Após ver essa teleaula você já saberá como calcular a equação geral de uma reta a partir de 2 pontos!

Na próxima eu falarei sobre distância entre 2 pontos.

Matemática Védica - Divisão por Base

Como efetuar \(12311111\div99970\) rapidamente? Pelo método tradicional você demoraria vários minutos para efetuar essa operação. Porém com o método védico você irá demorar pouco tempo.

A forma que você irá dividir é um pouco diferente do método tradicional. Você usará um operador diferente:

Vamos começar com exemplos simples \(23\div9\):

• Primeiro descemos o 2 na parte do quociente; 
• Depois multiplicamos o quociente 2 pela diferença 1, e colocamos abaixo do 3;
• Somamos o 3 com o 2 e obtemos 5. Logo a divisão entre 23 e 9 resulta em 2 com resto 5.

Vamos dividir 31 por 9:

• Primeiro descemos o 3 na parte do quociente;
• Depois multiplicamos o quociente 3 pela diferença 1, e colocamos abaixo do 1;
• Somamos o 3 com o 1 e obtemos 4. Logo a divisão entre 31 e 9 resulta em 3 com resto 4.

Vamos dividir 502 por 99 (I) e 617 por 95 (II):

I

• Como nossa base 100 tem dois zeros, nós colocamos os 2 últimos algarismos do dividendo na segunda coluna;
• Descemos o 5 e multiplicamos pela diferença 01 (o zero é necessário) e colocamos abaixo do 02;
• Somamos o 02 com o 05 e colocamos o resultado 07 na parte do resto.
• Então a divisão de 502 por 99 resulta em 5 e tem resto 07.

II

• Como a nossa base 100 tem 2 zeros nós fazemos o mesmo que o exemplo anterior;
• Descemos o 6 e multiplicamos pelo 05 e colocamos abaixo do 17;
• Soamos o 30 com o 17 e obtemos 47;
• Logo a divisão de 617 por 99 resulta em 6 e tem resto 47.

Agora vamos efetuar \(12311111\div99970\):

• Como nossa base 100000 tem cinco zeros nós colocamos os cinco últimos algarismos do dividendo na segunda coluna;
• Descemos o 1 e multiplicamos por 00030, nossa diferença, e colocamos abaixo dos próximos números;
• Descemos o 2 e multiplicamos por 00030 e colocamos abaixo dos próximos números;
• Descemos o 3 e multiplicamos por 00030 e colocamos abaixo dos próximos números;
• Soamos as parcelas na coluna da direita e colocamos no resto.
• Logo a divisão entre 12311111 por 99970 é 123 com resto 14801.

• Nos exemplos acima os ao somar o resto nós temos no primeiro exemplo um resto maior que o divisor. Isso não é possível. Logo nós subtraímos 88 de 99 que dá 11, que é o novo resto, e adicionamos 1 ao quociente.
• No segundo exemplo nós fazemos o mesmo, subtraímos 897 de 970 e obtemos 73 como resto e adicionamos 1 ao quociente.

Traduzido do livro "Vedic Mathematics de Dhaval Bathia"

Então é isso!

Problemas de Interpretação Algébrica IV - Sua Vez

Agora você terá alguns exercícios para resolver. Clique em resposta para ir a resposta (não a resolução) do problema.


1.) A soma de um número com o seu dobro é 30. Que número é esse?

Resposta

2.) A soma de três números consecutivos é 33. Qual o menor deles?

Resposta

3.) A soma de um número com sua metade é 30. Que número é esse?

Resposta

4.) O quadrado de um número menos ele mesmo é 20. Que número é esse?

Resposta

5.) Marco gasta um quarto do seu salário com dividas, um quinto com despesas domésticas e ainda sobram 550 reais. De quanto é o salário de Marco?

Resposta

6.) O quíntuplo de um número mais ele mesmo é 42. Que número é esse?

Resposta

7.) A quarta parte de um número mais um terço desse mesmo número é 7. Que número é esse?

Resposta

8.) Maria comeu um quinto dos biscoitos em um pacote, deu um quarto do restante para sua irmã e guardou os 12 restantes. Quantos biscoitos haviam no pacote?

Resposta

9.) Para encher um quinto de uma caixa d'água são necessários 20 baldes. Se a caixa tem capacidade de 1000 litros, qual a capacidade do balde?

Resposta

10.) Um número mais o seu quadrado é 56. Qual é esse número?

Resposta

11.) Em um jardim, o quadrado da vigésima parte das abelhas em uma colmeia estavam no canteiro das tulipas, um quarto das abelhas no canteiro das margaridas e as 50 restante no canteiro das hortênsias. Quantas abelhas há na colmeia?

Resposta

12.) João e Joaquim tem juntos 240 reais. Joaquim tem o dobro de João. Quantos reais têm  cada um?

Resposta

13.) A soma da sexta parte de um número mais um terço do número é 50. Qual é esse número?

Resposta

14.) O triplo de um número menos sua metade é 15. Que número é esse?

Resposta

15.) A soma de 5 números consecutivos é 15. Qual o maior deles?

Resposta

Respostas:

Questão 1

10

Questão 2

10

Questão 3

20

Questão 4

5 ou -4

Questão 5

1000 reais

Questão 6

7

Questão 7

12

Questão 8

20 biscoitos

Questão 9

10 litros

Questão 10

-8 ou 7

Questão 11

200 ou 100 abelhas

Questão 12

João tem 80 reais e Joaquim tem 160 reais.

Questão 13

100

Questão 14

6

Questão 15

5

Então é isso!

Matemática Védica - Divisão por Potências de 5

Como você faria par dividir 12548 por 125? Demoraria muito não? Porém há um método que você irá resolver isso rapidamente!

Divisão por  5

Para dividir por 5, é só multiplicar por 2 e dividir por10. Parece difícil mais não é:

Dividir 506 por 5:

Como temos \({5}^{1}\) nós multiplicaremos por \({2}^{1}\) e dividiremos por \({10}^{1}\):

\[\frac{206}{5}=\frac{206\times2}{10}=\frac{412}{10}=41.2\]

Vamos dividir 256 por 5:

Faremos o mesmo:

\[\frac{256}{5}=\frac{256\times2}{10}=\frac{512}{10}=51.2\]

Vamos dividir 125690 por 5:

\[\frac{125690}{5}=\frac{125690\times2}{10}=\frac{251380}{10}=25138\]

Divisão por 25

Para dividir por 25, é só multiplicar por 4 (2x2) e dividir por 100:

Dividir 1596 por 25:

\[\frac{1596}{25}=\frac{1596\times2\times2}{100}=\frac{6384}{100}=63.84\]

Dividir 2568 por 25:

\[\frac{2568}{25}=\frac{2568\times2\times2}{100}=\frac{10272}{100}=102.72\]

Dividir 126 por 25:

\[\frac{126}{25}=\frac{126\times2\times2}{100}=\frac{504}{100}=5.04\]

Divisão por 125

Para dividir por 125 é só multiplicar o número por 8 (2x2x2) e dividir por 1000:

Dividir 12566 por 125:

\[\frac{12566}{125}=\frac{12566\times2\times2\times2}{1000}=\frac{100528}{1000}=100.528\]

Dividir 189 por 125:

\[\frac{189}{125}=\frac{189\times2\times2\times2}{1000}=\frac{1512}{1000}=1.512\]

Dividir 250 por 125:

\[\frac{250}{125}=\frac{250\times2\times2\times2}{1000}=\frac{2000}{1000}=2\]

Então é isso!

Problemas de Interpretação Algébrica III

Vamos resolver alguns problemas mais complexos:

"O quadrado da oitava parte de um  bando de macacos brincavam no bosque, e os 12 restante tagarelavam no alto da colina. De quantos macacos é constituído o bando?

O nosso \(x\) é o número de macacos.

O quadrado da oitava parte é \({ \left( \frac { x }{ 8 } \right) }^{ 2 }\) ou \({ \frac { { x }^{ 2 } }{ 64 } }\)

Então temos a equação:

\({ \frac { { x }^{ 2 } }{ 64 } +12=x }\) ou \({ { x }^{ 2 }-64x+768=0 }\)

Resolvendo:

\(\Delta ={ \left( -64 \right) }^{ 2 }-4\cdot 768\cdot 1=4096-3072=1024\)

Logo:

\({ x }_{ 1 }=\frac { 64+32 }{ 2 } =48\)

\({ x }_{ 2 }=\frac { 64-32 }{ 2 } =16\)

Logo o bando podia ser constituído por 48 ou 16 macacos.

"Há algumas araras em duas árvores. De repente, a terça parte das araras na primeira árvore voa para a segunda que inicialmente ostentava o quadrado de araras da primeira. Depois que as araras de acalmaram em seus galhos, a metade das araras da segunda árvore voa para a primeira que fica com 48 araras. Quantas araras há no total?

O nosso \(x\) é o número de araras nas árvores. A primeira árvore tinha \(x\) araras e a segunda tinha \({x}^{2}\) araras. 

Faremos uma tabela com os voos das araras:

Temos a equação \(\frac { 2x }{ 3 } +\frac { 3{ x }^{ 2 }+x }{ 6 } =48\) que equivale a essa outra equação:

\(\frac { 3{ x }^{ 2 }++4x+x }{ 6 } =48\)

Que forma uma equação do segundo grau:

\(3{ x }^{ 2 }+5x-288=0\)

Então é só resolver:

\(\Delta ={ 5 }^{ 2 }-4\cdot 1\cdot \left( -288 \right) =3481\)

Logo:

\({ x }_{ 1 }=\frac { -5+\sqrt { 3481 }  }{ 6 } =\frac { 59-5 }{ 6 } =9\)

\({ x }_{ 2 }=\frac { -5-\sqrt { 3481 }  }{ 6 } =\frac { 5-59 }{ 6 } =-\frac { 32 }{ 3 } \)

Como nós temos que ter um número natural de araras, a única solução possível é 9. Então a primeira árvore tinha 9 araras. E a segunda o quadrado de 9 que é 81. Logo haviam 90 araras no total!

Problemas de Interpretação Algébrica II

Agora eu irei mostrar problemas de interpretação algébrica com equações quadráticas. Vamos começar do mais simples:

"O quadrado de um número mais 1 é igual a 50"

Como o nosso \(x\) é o número desconhecido nós temos:

\({x}^{2}+1=50\)

\({x}^{2}=49\)

\(x=7\)

Logo esse número é o 7!

"O quadrado de um número mais o seu triplo é igual a 4. Qual é esse número?"

O número procurado é \(x\). Então temos a equação:

\({x}^{2}+3x=4\) ou \({x}^{2}+3x-4=0\)

Resolvendo:

\(\Delta = {3}^{2}-4\cdot(-4)\cdot1\)

\(\Delta = 9 + 16\)

\(\Delta=25\)

Logo:

\(x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)

\({x}_{1}=\frac{-3 + \sqrt{25}}{2}\)

\({x}_{1}=\frac{-3+5}{2}\)

\({x}_{1}=\frac{2}{2}=1\)

\({x}_{2}=\frac{-3 -\sqrt{25}}{2}\)

\({x}_{2}=\frac{-3-5}{2}\)

\({x}_{1}=\frac{-8}{2}=-4\)

Logo \(S=\left\{ 1;-4 \right\} \)

Na próxima parte eu trarei alguns problemas mais complexos!

Problemas de Interpretação Algébrica I

Sabe aqueles problemas de matemática que algumas vezes não aparece nenhum número? Parece um absurdo mas não é. É apenas interpretação de texto. A partir daí nós podemos fazer a tradução do português para o "matematiquês".

Vamos começar com equações de primeiro grau:

"Gasto um terço do meu salário com contas, um quarto com alimentação, e ainda sobram 200 reais. De quanto é o meu salário?"

Interpretando o problema descobrimos que o nosso \(x\) é o valor total do salário da pessoa. Logo um terço e um quarto do salário seriam, respectivamente, \(\frac{x}{3}\) e \(\frac{x}{4}\).

Que conta devemos fazer? Uma adição:

\(\frac{x}{3}+\frac{x}{4}+200=x\)

O MMC de 3 e 4 é 12. Logo multiplicaremos a equação por 12:

\(12(\frac{x}{3}+\frac{x}{4}+200)=12x\)

\(4x+3x+2400=12x\)

Logo:

\(7x+2400=12x\)

\(2400=5x\)

\(480\)

Logo o salário da pessoa é de 480 reais!

"Foram usados um quarto de farinha em um saco pra fazer tortas, três quintos para fazer bolos e ainda sobraram um quilo e duzentos gramas. Qual o peso do saco de farinha inteiro em quilogramas?"

Interpretando o problema vemos que o nosso \(x\) é a quantidade de farinha no saco. Foram usados para fazer a torta e o bolo, \(\frac{x}{4}\) e \(\frac{3x}{5}\), respectivamente.

Como sobraram 1 kg e 200 g nós iremos escrever \(1.2\).

Logo a equação fica:

 \(\frac{x}{4}\)+\frac{3x}{5}+1.2=x\)

Resolvendo:

O MMC de 4 e 5 é 20. Multiplicamos por 20:

 \(20(\frac{x}{4}\)+ \frac{3x}{5} + 1.2)=20x\)

 \(5x+12x+24=20x\)

 \(17x+24=20x\)

\(3x=24\)

\(x=8\)

Logo são 8 quilos de farinha!

"A soma de 3 números consecutivos resulta em 93. Qual é o menor dos números?"

O nosso \(x\) agora é o menor número. Os outros por virem depois desse (são consecutivos) nós representamos por \(x+1\) e \(x+2\). Assim a equação dica:

\(x+x+1+x+2=93\)

Resolvendo:

\(3x+3=93\)

\(3x=90\)

\(x=30\)

Logo o menor número da soma é 30!

Então é isso. Na próxima eu falarei sobre equações do segundo grau!

Desafio V - Resposta

Se você for uma pessoa que usa o senso comum você deve ter respondido 10.

Mais se você for uma pessoa criativa, você deve ter respondido 11! Por que?

Todos os números da sequência são Palíndromos de um algarismo. Um palíndromo é um número que continua o mesmo quando lido ao contrário. Assim 12333321 é um palíndromo pois podemos ler o mesmo número ao contrário.

Assim 11 é o primeiro palíndromo de dois algarismos, seguido do 22, 33 e por ai vai!

Desafio V

Qual o próximo termo da sequência a seguir:

1,2,3,4,5,6,7,8,9...

Use a criatividade!

Resolução de Problemas II

Vamos resolver 2 problemas hoje:

1.) Um pequeno caminhão pode carregar 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se foram colocados no caminhão 32 sacos de areia, quantos tijolos pode ainda ele carregar?

Resolução:

Como o caminhão está carregando 32 sacos de areia, ele ainda poderá carregar 18 sacos.

Se 50 sacos equivalem a 400 tijolos, então 1 saco equivale a 8 tijolos. Assim os 18 sacos de areia equivalem à \(18\times8=144\) tijolos.

2.)

"Quando ia a Bagdá 

Encontrei um homem com 7 mulheres 

Cada mulher tinha 7 sacos 

Cada saco, 7 gatos 

Cada gato, 7 gatinhos. 

Gatinhos, gatos, sacos e mulheres 

Quantos iam a Bagdá?" 

Por onde começar?

Primeiro vamos fazer uma tabela com a quantidade das coisas:

	Quantidade	Total
Homens	O que ia a Bagdá e o que ele encontrou	2
Mulheres	7 mulheres estavam com o homem	7
Sacos	Cada mulher tinha 7 sacos 7 x 7	49
Gatos	Cada saco tinha 7 gatos 49 x 7	343
Gatinhos	Cada gato tinha 7 gatinhos 343 x 7	2401

Como se pede o total de pessoas e objetos que estão indo a Bagdá, nós somamos os totais:

\(2+7+49+343+2401=2802\)

Logo a resposta é 2802.

Desafio IV - Resposta

Nós usaremos uma propriedade da P. A. que é a da diferença constante.

A P. A. é:

 \(a\), \(b\), \(30\), \(c\) e \(d\)

Temos o primeiro termo que será:

\(a\)

O segundo termo será:

\(a+r\) onde \(r\) é a razão.

O terceiro termo, que é 30, será:

\(a+2r\)

O quarto termo será:

\(a+3r\)

E por fim o quinto termo será:

\(a+4r\)

Vamos somar os termos que o problema pede:

\(a+4r+a+3r+a+r+a=4a+8r\)

Perceba que \(4a+8r\) é o quadruplo de \(a+2r\) que é o terceiro termo. Como o terceiro termo é 30 a soma dos outros termos será \(30\times4=120\)!

Até a próxima!

Resolução de Problemas I

Agora eu irei mostrar a resolução de alguns problemas "difíceis" :
1.) Duas amigas, Ana e Marcela querem descobrir quantos degraus são visíveis numa escada rolante. Para isso foi feito o seguinte: as duas amigas começaram a subir a escada juntas, Ana ia subindo um degrau de cada vez, enquanto que Marcela subia dois . Ao chegar ao topo, Ana contou 21 degraus enquanto Marcela contou 28. Com esses dados foi possível responder a questão. Quantos degraus são visíveis nessa escada rolante? (obs: a escada está andando).

Vamos a resolução:

 Marcela subiu de 2 em 2 degraus, e ela contou 28, como ela anda de 2 em 2 ela deu 14 passos. Enquanto isso Ana por andar de 1 em 1, deu 14 passos também.

Como a escada está andando, ao mesmo tempo que Ana andou 14 e Marcela 28, a escada já teria andado X degraus.

Como Ana chegou ao andar 21 degraus, e ela já andou 14, faltam ainda 7 degraus para subir. Como ao subir 14 degraus a escada andou X degraus. Ao andar 7 a escada andará X/2 degraus.

Sendo assim o número de degraus visto por ambas as amigas deve ser o mesmo. Assim:

\(28+X=(14+X)+(7+(\frac{X}{2}))\)

\(28+X  =  21+(\frac{3X}{2})\)

3X/2-X=28-21

X/2=7

\(X=14\)

Se \(X=14\) O numero de degraus visíveis para Marcela é:

\(X=14+28=42\)

Para Ana o número de degraus será o mesmo:

\((14+X)+(7+(\frac{X}{2}))  =  (14+14)+(7+14/2)  =   28+14  =  42\)

Esse foi o primeiro problema. Futuramente eu postarei mais (é como se esse post fosse um piloto).

Desafio IV

Qual a soma dos termos \(a\), \(b\), \(c\) e \(d\) da P. A. Seguinte?

 \(a\), \(b\), \(30\), \(c\), \(d\) ...

Resposta no próximo post!

Regra de Três Simples: Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais

Vamos resolver agora alguns problemas de regra de três simples.

O que é Regra de Três?

Regra de três é um método matemático que usa as propriedades da proporção entre frações. Ela serve para achar um quarto valor a partir de três valores proporcionais. Daí o nome "Regra de Três".

Grandezas Diretamente Proporcional

1.) Um pintor pinta um muro de 5 metros em 2 horas. Em quanto tempo ele irá pintar um muro de 15 metros?

Resolução:

Faremos uma tabela:

Tamanho do Muro (m)	Tempo Gasto (h)
5	2
15	x

X é o tempo que ele irá gastar para pintar os 15 metros. Faremos uma multiplicação em cruz:

\(5\times x = 15 \times 2\)

\(5x=30\)

\(x=6\)

Logo o pintor demorará 6 horas para pintar o muro de 15 metros.

2.) Uma solução tem 90 ml de vinho e 20 ml de água. Se quisermos fazer outra solução na mesma proporção com 50 ml de água, quantos ml de vinho ela terá?

Faremos a tabela novamente:

Vinho	Água
90	20
x	50

Multiplicamos em cruz:

\(90\times50=20x\)

\(4500=20x\)

\(x=225\)

Logo precisaremos de 225 ml de vinho.

Como você pode ver grandezas diretamente proporcionais tratam de coisas que variam da mesma maneira quando uma cresce a outra também cresce, se uma diminui a outra também diminui.

Grandezas Inversamente Proporcional

1.) 4 carpinteiros terminam 4 cadeiras em 2 dias. Em quantos dias 8 carpinteiros terminarão as 4 cadeiras?

O número de cadeiras, por ser igual independentemente do número de carpinteiros, não é necessário incluir na tabela:

Carpinteiros	Dias
4	2
8	x

Veja que, se o número de carpinteiros aumenta, o número de dias diminui.

Assim temos uma grandeza inversamente proporcional. E então nós multiplicamos normal igual a uma fração:

\(4\times2=8\times x\)

\(x=1\)

Logo eles terminarão o trabalho em 1 dia.

2.) Duas copiadoras demoram 10 minutos para imprimir 100 folhas. Em quanto tempo 10 impressoras demorarão para imprimir as 100 folhas?

Faremos a tabela:

Copiadoras	Minutos
2	10
10	x

Então vamos multiplicar:

\(2\times10=10\times x\)

\(20=10x\)

\(x=2\)

Logo as copiadoras demorariam 2 minutos para imprimir.

Como você deve ter visto, grandezas inversamente proporcionais são grandezas que crescem de  maneiras diferentes, ou seja quando uma cresce a outra diminui, e vice-versa. 

Então é isso o próximo post será um desafio!

Desafio III - Resposta

A resposta é o passo D que está errado, porque \(\sqrt { { x }^{ 2 } } =\left| x \right| \).

Então:

\(\sqrt { { \left( 4-\frac { 9 }{ 2 } \right) }^{ 2 } } =\sqrt { { \left( 5-\frac { 9 }{ 2 } \right) }^{ 2 } } \)

\(\left| { \left( 4-\frac { 9 }{ 2 } \right) }^{ 2 } \right| =\left| { \left( 5-\frac { 9 }{ 2 } \right) }^{ 2 } \right| \)

\(\left| -0.5 \right| =\left| 0.5 \right| \)

\(0.5=0.5\)

Essa é a forma correta de resolver esse tipo de problema, então o passo D está errado!

Desafio III

Onde está o erro?

A- Começando com a seguinte igualdade:

\[16-36=25-45\]

B- Nós podemos somar \(\frac{81}{4}\) em cada lado sem mudar nada:

\[16-36+\left( \frac { 81 }{ 4 } \right) =25-45+\left( \frac { 81 }{ 4 } \right) \]

C- Usando a propriedade o quadrado da diferença nós temos:

\[{ \left( 4-\frac { 9 }{ 2 } \right) }^{ 2 }={ \left( 5-\frac { 9 }{ 2 } \right) }^{ 2 }\]

D- Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

\[4-\frac { 9 }{ 2 } =5-\frac { 9 }{ 2 } \]

E- Adicionando \(\frac { 9 }{ 2 }\) em ambos os lados e finalmente:

\[4=5\]

Onde está o erro? 

Resposta no próximo post!

Resolução de Problemas: Sistema de Equações Pelo Método Védico

Eu ensinei aqui o método védico para resolução de sistemas de equações. Recomendo ver o post antes de ler este daqui.

Vamos começar:


1.) Um cliente apresentou um cheque de 700 reais ao caixa do banco e pediu que ele fosse pago em notas de 5 reais e 10 reais, num total de 100 notas. Se você trabalhasse no caixa, quantas notas de cada valor daria ao cliente?

 Montando o sistema:

\(\begin{cases} 10x+5y=700 \\ x+y=100 \end{cases}\)

Usando o método védico:

\(1\cdot700-5\cdot100=200\) --- Numerador

\(10\cdot1-5\cdot1=5\) --- Denominador

Logo \(x=\frac{200}{5}=40\)

Assim \(y=100-40=60\)

Logo serão 40 notas de 10 reais e 60 notas de 5 reais.

2.) Numa fazenda há vacas e galinhas. O total de pés de animais na fazenda somam 80 e o número de animais é 30. Quantas galinhas há na fazenda?

Vamos chamar de \(x\) as vacas e \(y\) as galinhas. Dado o sistema:

\(\begin{cases} 4x+2y=80 \\ x+y=30 \end{cases}\)

Resolvendo para \(y\):

\(4\cdot30-80\cdot 1=40\) --- numerador

\(4\cdot 1 - 2 \cdot 1= 2\) --- denominador

Assim \(y=\frac{40}{2}=20\). Logo há 20 galinhas na fazenda.

Vamos prolongar o problema e achar o número de vacas que é fácil:

\(x=30-20=10\)

Então há 10 vacas e 20 galinhas.

3.) Resolva o seguinte sistema de equações:

\(\begin{cases} 5x+2y=24 \\ 2x+3y=22 \end{cases}\)

Achar x:

\(3\cdot22-2\cdot11 =44\) --- numerador

\(5\cdot 3 - 2 \cdot 2= 11\) --- denominador

Logo \(x=4\).

Achar y:

\(5\cdot11-2\cdot22 =11\) --- numerador

\(5\cdot 3 - 2 \cdot 2= 11\) --- denominador

Logo \(y=1\).

E essa foi a resolução de 3 problemas envolvendo sistema de equações usando a matemática védica!

Progressão Geométrica

Progressão Geométrica diferente da P.A. ela não tem uma diferença padrão, e sim um quociente. Ou seja o quociente do 2º termo com o 1º é igual ao quociente do 5º termo com o 4º.

Então podemos começar!

Achar o n-ésimo Termo da Sequência

Qual o 13º termo da sequencia a seguir?

1, 2, 4. 8, 16...

Qual sera o quociente (nossa razão)? Como você pode ver \(\frac{16}{8}=\frac{8}{4}\)

Logo a razão é 2.

Vamos usar a fórmula:

\({a}_{n}={a}_{1}\cdot{q}^{n-1}\)

Onde:

\({a}_{n}\) é o n-ésimo termo;

\(n\) é a posição do termo;

\({a}_{1}\) é o primeiro termo e 

\(q\) é a razão ou quociente.

Vamos lá!

Substituindo os valores:

\({a}_{13}=1\cdot{2}^{13-1}\)

\({a}_{13}=1\cdot{2}^{12}\)

\({a}_{13}=1\cdot 4096\)

\({a}_{13}=4096\)!

Achar o 5º termo da sequência:

\(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{9}\), \(\frac{1}{27}\) ...

O quociente é \(\frac{1}{3}\) então:

\({a}_{5}=\frac{1}{3}\cdot{\frac{1}{3}}^{5-1}\)

\({a}_{5}=\frac{1}{3}\cdot{\frac{1}{3}}^{4}\)

\({a}_{5}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{81}\)

\({a}_{5}=\frac{1}{243}\)!

Soma de n Termos na Sequência:

A fórmula da soma é:

\({a}_{n}\cdot \frac{{q}^{n}-1}{q-1}\)

Assim resolveremos os 2 próximos problemas:

Qual a soma dos 10 termos da sequência 1, 2, 4, 8, 16...?

Usando a fórmula:

\(1\cdot \frac{{2}^{10}-1}{2-1}\)

\(1\cdot \frac{1024-1}{1}\)

\(1\cdot \frac{1023}{1}=1023\)!

Achar a soma de todos os termos da sequência:

\(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{8}\), \(\frac{1}{16}\)...

Temos como quociente \(frac{1}{2}\) e  \(n\) como infinito:

\(\frac{1}{2}\cdot \frac{{\frac{1}{2}}^{\infty}-1}{\frac{1}{2}-1}\)

\(\frac{1}{2}\cdot \frac{0-1}{-\frac{1}{2}}\)

\(\frac{1}{2}\cdot \frac{-1}{-\frac{1}{2}}\)

\(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}=1\)!

Então é isso!

Elevando Números ao Quadrado Parte II

Existe outra fórmula que eu irei mostrar agora:

Produto da Soma e da Diferença

Usando a fórmula do produto da soma com a diferença que é \((a+b)(a-b)\) nós teremos:

\((a+b)(a-b)={a}^{2}-{b}^{2}\)

Logo \({a}^{2}=(a+b)(a-b)+{b}^{2}\).

Vamos elevar 72 ao quadrado

Nós vamos subtrair e somar o 2 de 72, pois o número está próximo de 70,

 \({72}^{2}=(72+2)(72-2)+{2}^{2}\)

 \({72}^{2}=(74)(70)+{2}^{2}\)

 \({72}^{2}=(74)(70)+4\)

Como \((74)(70)=(70)(70)+(70)(4)\) temos:

\({72}^{2}=4900+280+4\)

\({72}^{2}=5184\)

Vamos elevar 53 ao quadrado

Nós vamos somar e subtrair o 3 do 53, pois o número está próximo de 50:

 \({53}^{2}=(53+3)(53-3)+{3}^{2}\)

 \({53}^{2}=(56)(50)+{3}^{2}\)

 \({53}^{2}=(56)(50)+9\)

 \({53}^{2}=(50)(50)+(50)(6)+9\)

 \({53}^{2}=2500+300+9\)

 \({53}^{2}=2809\)

Vamos elevar 67 ao quadrado

Nós vamos somar e subtrair o 3 que é a diferença entre 67 e 70, pois 67 está mais próximo de 70:

 \({53}^{2}=(67+3)(67-3)+{3}^{2}\)

 \({53}^{2}=(70)(64)+{3}^{2}\)

 \({53}^{2}=(70)(64)+9\)

 \({53}^{2}=(70)(60)+(70)(4)+9\)

 \({53}^{2}=4200+280+9\)

 \({53}^{2}=4489\)

Isso serve para qualquer número!  

Espero que gostem!

Elevando Números ao Quadrado parte I

Como resolver \({1009}^{2}\)?

Fazendo a multiplicação pelo método tradicional nós demoraríamos muito.

Porém sabendo um pouco sobre os Produtos Notáveis nós podemos fazer algo interessante:

O Quadrado de Uma Soma:

A fórmula do quadrado da soma é \({(a+b)}^{2}={a}^{2}+2ab+{b}^{2}\)

Vamos elevar 1009 ao quadrado

Podemos escrever 1009 como 1000+9. Então nós temos o nosso \(a+b\) 

Fazendo então \({1000}^{2}+2\cdot 1000\cdot 9+{9}^{2}=1000000+18000+81=1018081\)

Então 1009 ao quadrado é 1018081!

Vamos elevar 511 ao quadrado

Como 511=500+11, nós temos então o nosso \(a+b\):

\({500}^{2}+2\cdot 500\cdot 110+{11}^{2}=250000+11000+121=261121\)

Então 511 ao quadrado é igual a 261121!

O Quadrado da Diferença:

Agora e para elevar ao quadrado 995? Fica difícil elevar 95 ao quadrado já que 995=900+95. Então como progredir? Usando a outra fórmula também conhecida:

\({(a-b)}^{2}={a}^{2}-2ab+{b}^{2}\)

Então vamos elevar 995 ao quadrado

Como 995=1000-5, nós iremos fazer:

\({(1000-5)}^{2}={1000}^{2}-2\cdot 1000 \cdot 5+{5}^{2}\)

\({(1000-5)}^{2}=1000000-10000+25=990025\)

Então 995 ao quadrado é 990025!

Encontrar o Quadrado de 698

Como 698 é 700-2 temos:

\({(700-2)}^{2}={700}^{2}-2\cdot 700 \cdot 2+{2}^{2}\)

\({(1000-5)}^{2}=490000-2800+4=487204\).

Então é isso até a próxima parte!

Propriedades do Triângulo de Pascal

O Triângulo de Pascal parece um triângulo comum cheio de números, porém ele é mais do que isso. Ele pode servir para várias coisas na matemática veja:

Coeficientes da Expansão de Um Binômio

No Triângulo de Pascal nós temos os coeficientes da expansão \({(x+y)}^{n}\):

 Veja que na primeira fileira do triangulo nós temos 1.

Na segunda nós temos 1 e 1

Na terceira 1, 2 e 1.

Na quarta 1, 3, 3 e 1

E assim por diante.

Potências de 2

As potências de 2 também aparecem no triângulo:

Sequência de Fibonacci:

A famosa sequência do número áureo 1, 1, 2, 3. 5, 8. 13, 21 etc, também aparece no triângulo:

Números Triangulares:

Os números triangulares são dados pela fórmula \(\frac{n(n+1)}{2}\) e são eles 1, 3, 6, 10, 15, 21 etc.

Então é isso!

Progressão Aritmética

Progressão aritmética é uma sequência de crescimento constante, que forma um padrão.

Um exemplo disso é a sequência 1, 2, 3, 4, 5, 6...

A razão de crescimento é 1. Toda hora nós somamos 1.

Agora vejamos algumas fórmulas da progressão aritmética:

Termo n qualquer da sequência

Se eu desse a sequência 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15..., você saberia dizer qual é o 123º termo?

É só usar a fórmula geral:

\({ a }_{ n }={ a }_{ 1 }+(n-1)r\)

Onde \({ a }_{ n }\) é o n-ésimo termo;

\({ a }_{ 1 }\) é o 1º termo;

\(n\) é a posição do termo e

\(r\) é a razão se crescimento da sequencia.

Agora acharemos o 123º termo da sequência acima.

Temos que:

\(n=123\)

\({ a }_{ 1 }=3\)

\(r=2\)

Agora é só resolver:

\({ a }_{ n }={ a }_{ 1 }+(n-1)r\)

\({ a }_{ 123 }=3+(123-1)2\)

\({ a }_{123}=3+(122)2\)

\({ a }_{ 123 }=3+244\)

\({ a }_{ 123 }=247\)

Logo o 123º termo da sequencia é 247.

Qual o 59º termo da sequência 3, -1, -5, -9, -13 ...

Temos que:

\(n=59\)

\({ a }_{ 1 }=3\)

\(r=-4\)

Substituindo:

\({ a }_{ 59 }=3+(59-1)(-4)\)

\({ a }_{ 59 }=3+(58)(-4)\)

\({ a }_{ 59 }=3+(-232)\)

\({ a }_{ 59 }=-229\)

Soma de n termos da sequência:

Qual a soma dos 100 primeiros números naturais positivos?

Ou seja quanto é 1+2+3+4+5+6+7+...+98+99+100?

Não parece ser fácil calcular,porém existe uma fórmula:

\({S}_{n}=\frac{n({a}_{n}-{a}_{1})}{2}\)

\({S}_{n}\) é a soma de n termos.

\(n\) é o número de termos.

\({a}_{1}\) é o primeiro termo a ser somado.

e \({a}_{n}\) é o n-ésimo termo.

Vamos somar:

\({S}_{100}=\frac{100(100+1)}{2}\)

\({S}_{100}=\frac{100(101)}{2}\)

\({S}_{100}=\frac{10100}{2}\)

\({S}_{100}=5050\)

Então a soma dos 100 primeiros números naturais positivos é 5050.

Então é isso na próxima eu trarei progressão geométrica.

Questões de Olimpíadas e Concursos III

Como eu disse eu traria questões de probabilidade:

Obmep 2006 Nível 3 Fase 1:

16. Uma caixa contém cinco bolas numeradas de 1 a 5. Dela são retiradas ao acaso duas bolas. Qual a probabilidade de que o maior número assim escolhido seja o 4?

a) 1/10
b) 1/5
c) 3/10
d) 2/5
e) 1/2

O número de maneiras de retirarmos duas bolas da caixa é 10, o que podemos ver listando as possibilidades: {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5} e {4,5}. O 4 é o maior número escolhido em {1,4}, {2,4} e {3,4}, ou seja, em 3 casos. Logo a probabilidade pedida é 3/10

Alternativa  C

Obmep 2014 Nível 3 Fase 1

19. Dois dados têm suas faces pintadas de vermelho ou azul. Ao jogá-los, a probabilidade de observarmos duas faces superiores de mesma cor é 11/18. Se um deles tem cinco faces vermelhas e uma azul, quantas faces vermelhas tem o outro?

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Podemos supor que o primeiro cubo tem cinco faces vermelhas e uma branca. Seja \(v\) o número de faces vermelhas do segundo cubo. Ao se lançar os dois dados, há \(6\times6=36\) casos possíveis. Para que as faces tenham a mesma cor, devem ser ambas vermelhas ( \(5\times v\) possibilidades) ou ambas azuis (\(1\times(6-v)\) possibilidades). A probabilidade de se observar faces iguais é, portanto:

\(\frac{número\quad de\quad casos\quad favoráveis\quad}{número\quad de \quad casos \quad possíveis}=\frac{5v+(6-v)}{36}=\frac{4v+6}{36}=\frac{2v+3}{18}\)

Como \(\frac{2v+3}{18}=\frac{11}{18}\), \(v=4\). Alternativa \(d\).

Então é isso!

Somas Infinitas

Veja algumas maluquices com somas infinitas:

Quanto vale a soma \(1-1+1-1+1-1+1-1+1-...\)?

Sabia que ela pode ter 3 resultados diferentes?

Ela pode resultar em \(0\).

Colocaremos parênteses da seguinte forma:

\((1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+...\)

Como cada resultado entre parênteses resulta em \(0\), nós temos que \(1-1+1-1+1-1+1-1+1-...=0\).

Ela pode resultar em \(1\).

Colocaremos os parenteses de uma forma diferente:

\(1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+...\)

Como cada parêntese resulta em \(0\) e nós temos \(1\) sobrando, então o valor da soma é \(1\)

Ela pode resultar em um incrível \(\frac{1}{2}\)!

Chamaremos o resultado da soma de (S\):

\(1-1+1-1+1-1+1-1+1-...=S\)

Iremos fazer \(1-S\) ou seja \(1\) menos essa soma inteira:

\(1-S=1-(1-1+1-1+1-1+1-1+1-...)\)

Removendo os parênteses:

\(1-S=1-1+1-1+1-1+1-1+1-...)\)

Logo \(1-S\) é igual a soma inicial, ou \(S\):

\(1-S=S\)
\(1=2S\)
\(S=\frac{1}{2}\)!

Logo chegamos a essa conclusão meio absurda, mais que tem lógica!

Veja agora um vídeo do NumberPhile explicando como \(1+2+3+4+5+6+7+8+9+...=-\frac{1}{12}\):





Por último mais uma soma estranha:

Quanto vale \(1+2+4+8+16+32+64+...\)?

Vamos chamar de \(X\) a resposta da soma:

\(1+2+4+8+16+32+64+...=X\)

Vamos fazer o seguinte:

\(1+(2+4+8+16+32+64+...)=X\)

Deixando o 2 em evidência nos parênteses internos:

\(1+2(1+2+4+8+16+32+...)=X\)

Veja que temos a soma inicial novamente. Então temos:

\(1+2X=X\)

Logo \(X=-1\)!

Estranho não? Então até a próxima!

Desafio II Resposta

Qual o valor daquela raiz? É simples:

\(\sqrt { 2+\sqrt { 2+\sqrt { 2+\sqrt { 2+\sqrt { 2+\sqrt { 2+\sqrt { 2+\sqrt { 2+\sqrt { ... }  }  }  }  }  }  }  }  } = x\)

Vamos chamar o valor da raiz de \(x\).

Elevando os lados ao quadrado teremos:

\(2+\sqrt { 2+\sqrt { 2+\sqrt { 2+\sqrt { 2+\sqrt { 2+\sqrt { 2+\sqrt { 2+\sqrt { 2+\sqrt { ... }  }  }  }  }  }  }  }  } ={x}^{2}\)

Perceba que nós estamos somando 2 com a raiz infinita novamente. E como ela vale \(x\) nós temos:

\(2+x={ x }^{ 2 }\)

Temos uma equação quadrática. Ela nos dá 2 raízes, \(2\) e \(-1\)

Como essa raiz não pode dar negativo, o a resposta do desafio é \(2\)!

Desafio II

Qual o valor dessa raiz:

Resposta nos próximos posts!

Matemática Védica - Método de Multiplicação por Base Parte 3

Por fim chegamos a parte 3 onde eu irei mostrar outros casos especiais:

 Quando a multiplicação das diferenças gera um número com algarismos maiores que o número de zeros da base.

Caso a multiplicação das diferenças resulta em um número com algarismos maiores que os zeros da base nós fazemos o seguinte:

   950

x 950

--------

Como 989 e 988 estão longe 11 e 12 unidades da base 1000 nós fazemos:

   950 - 50

x 950 - 50

---------------

a multiplicação de 50 e 50. Isso resulta em 2500. Como 2500 tem 4 algarismos e a base tem apenas zeros o primeiro algarismo do resultado sobe. Nesse caso é o 2:

       2

   950 - 50

x 950 - 50

---------------

          500

Nós fazemos 950 - 50 que resulta em 900 e somamos o 2 que subiu:

   950 - 50

x 950 - 50

---------------

 902500

Isso serve para qualquer excedência.

Quando a Base Não é Uma Potência de 10

Quando a base não é uma potência de 10 nós usamos um método diferente:

Nós usaremos a Base Atual (BA) que é a potência de 10. 

E também usaremos a Base de Trabalho (BT) que é a outra base que usaremos.

Assim para multiplicar 48 por 48 nós usaremos a BT como 50 e a BA como 100. 

    48

x  48

-------

48 está 2 unidades longe da base então nós fazemos:

    48 - 2

x  48 - 2

------------

Multiplicamos as diferenças, como 2 vezes 2 é 4 e a nossa BA tem 2 zeros nós usamos 04:

    48 - 2

x  48 - 2

------------

         04

Agora nós fazemos conta em cruz que dá 48-2=46

Como a nossa BT é a metade da nossa BA nós dividimos o resultado da conta em cruz por 2 e temos 23. Logo:

    48 - 2

x  48 - 2

------------

    23 04

Isso serve para qualquer base. Em alguns casos se a BT for o dobro da BA nós multiplicamos o valor da conta em cruz por 2. O mesmo vale para outros valores.

Se a divisão der um número misto:

   45
x 42
-------

A nossa BA é 100, e nossa BT é 50, a metade de 100.

Logo 45 e 42 estão 5 e 8 unidades abaixo da BT respectivamente.

Assim:

   45 - 5
x 42 - 8
------------

\(8\times 5=40\)

Colocamos o 40 em baixo:

   45 - 5
x 42 - 8
------------
         40

Agora fazemos a conta em cruz que dá \(42-5=45-8=37\) 

Como a BT é a metade da BA nó dividimos 37 por 2 e teremos:


   45 - 5
x 42 - 8
----------------
(18 e 1/2) 40

Como não podemos ter \(\frac{1}{2}\) no resultado nós multiplicamos a fração pela BA e somamos com o primeiro resultado que é o 40:

\(\frac{1}{2}\times100+40=50+40=90\)

Então nós colocaremos como resultado:

   45 - 5
x 42 - 8
----------------
     1890

Então essa é a resposta!

E essa é a última parte da Multiplicação por Base.

Número Áureo

 Esse é o vídeo que mostra sobre a Sequencia de Fibonacci e o número áureo.

Desafio I Resposta

 A resposta do desfio proposto é simples. Reveja a fração:

Vamos chamar o seu valor de \(x\)

Nós podemos reescrever a fração como:

\(x=1+\frac{1}{x}\)

Rolvendo, chegamos a equação quadrática:

\({x}^{2}-x-1=0\)

Que resolvendo chegamos a 2 respostas uma positiva e outra negativa. Consideraremos apenas a positiva que é:

\(\frac{1+\sqrt {5}}{2}\)

Uma curiosidade é que esse número e o número phi (φ) que é a razão áurea e está presente em tudo na natureza.
No próximo post sairá um vídeo explicando melhor o número.

Desafio I

Qual o valor da fração a seguir?

Resposta no próximo post.

Questões de Olimpíadas e Concursos II

Como eu disse na última parte eu iria trazer sobre raciocínio lógico:

OBMEP 2014 Fase 1 Nível 2 e 3 

Essa questão repercutiu muito no Facebook ano passado. Se você ainda não entendeu como se resolve é só conferir aqui:

3. Cinco meninas não estão totalmente de acordo sobre a data da prova de Matemática.

• Andrea diz que será em agosto, dia 16, segundafeira;
• Daniela diz que será em agosto, dia 16, terça-feira;
• Fernanda diz que será em setembro, dia 17, terçafeira;
• Patrícia diz que será em agosto, dia 17, segundafeira;
• Tatiane diz que será em setembro, dia 17, segundafeira.

Somente uma está certa, e as outras acertaram pelo menos uma das informações: o mês, o dia do mês ou o dia da semana. Quem está certa?

A) Andrea
B) Daniela
C) Fernanda
D) Patrícia
E) Tatiane

Vamos fazer uma tabela com as informações:

Usando a lógica constatamos:

Se Andrea tivesse acertado, Fernanda não teria acertado nenhuma das informações. Então Andrea e Fernanda estão erradas pois elas se contradizem.

Se Daniela tivesse acertado, Tatiane não teria acertado nenhuma das informações. Então Daniela e Tatiane estão errados pois elas se contradizem.

Logo a Patrícia é a única que sobra. Então Patrícia é a que acertou a data da prova de matemática. Logo a resposta é a D.

IBMEC 2008

Partindo de duas ou mais declarações, pode-se obter uma nova declaração unindo as primeiras por meio de conectivos (expressões como e, ou, se... então...).

Essa nova declaração é chamada de tautologia quando for sempre verdadeira, independentemente das declarações que a formaram serem verdadeiras ou falsas.

Assim, a declaração “O céu é azul ou o céu não é azul” é um exemplo de tautologia. 

Dentre as declarações abaixo, assinale aquela que representa uma tautologia. 

a) Se o Brasil ganhar da França e a Argentina perder da Itália, então a França ganhará do Brasil. 

b) Se Paulo é brasileiro e tem mais de 18 anos, então ele nasceu na Bélgica ou tem mais de 15 anos.

c) Se João tem dois ou mais filhos, então ele tem quatro filhos. 

d) Se me pagarem RS 500,00 ou me derem a passagem de avião, então eu terei na carteira mais de RS 400,00. 

e) Se o prefeito ou o governador comparecerem, então o presidente não virá.

Resolução:

Consideremos as proposições:

p1: Paulo é brasileiro 

p2: Paulo tem mais de 18 anos 

P3: Paulo tem mais de 15 anos (note que p2 ⇒ p3) 

p4: Paulo nasceu na Bélgica

Temos as tabelas:

Note que(p1 e p2) ⇒ p3

De (p1 e p2) ⇒ (p3), temos (p1 e p2) ⇒ (p3 ou p4). Isto é, se (p1 e p2) é verdadeira, então (p3 ou p4) é verdadeira.

Portanto, (p1 e p2) → (p3 ou p4) é uma tautologia.

Resposta: b

Então é isso.