Progressão Geométrica

Progressão Geométrica diferente da P.A. ela não tem uma diferença padrão, e sim um quociente. Ou seja o quociente do 2º termo com o 1º é igual ao quociente do 5º termo com o 4º.

Então podemos começar!

Achar o n-ésimo Termo da Sequência

Qual o 13º termo da sequencia a seguir?

1, 2, 4. 8, 16...

Qual sera o quociente (nossa razão)? Como você pode ver \(\frac{16}{8}=\frac{8}{4}\)

Logo a razão é 2.

Vamos usar a fórmula:

\({a}_{n}={a}_{1}\cdot{q}^{n-1}\)

Onde:

\({a}_{n}\) é o n-ésimo termo;

\(n\) é a posição do termo;

\({a}_{1}\) é o primeiro termo e 

\(q\) é a razão ou quociente.

Vamos lá!

Substituindo os valores:

\({a}_{13}=1\cdot{2}^{13-1}\)

\({a}_{13}=1\cdot{2}^{12}\)

\({a}_{13}=1\cdot 4096\)

\({a}_{13}=4096\)!

Achar o 5º termo da sequência:

\(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{9}\), \(\frac{1}{27}\) ...

O quociente é \(\frac{1}{3}\) então:

\({a}_{5}=\frac{1}{3}\cdot{\frac{1}{3}}^{5-1}\)

\({a}_{5}=\frac{1}{3}\cdot{\frac{1}{3}}^{4}\)

\({a}_{5}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{81}\)

\({a}_{5}=\frac{1}{243}\)!

Soma de n Termos na Sequência:

A fórmula da soma é:

\({a}_{n}\cdot \frac{{q}^{n}-1}{q-1}\)

Assim resolveremos os 2 próximos problemas:

Qual a soma dos 10 termos da sequência 1, 2, 4, 8, 16...?

Usando a fórmula:

\(1\cdot \frac{{2}^{10}-1}{2-1}\)

\(1\cdot \frac{1024-1}{1}\)

\(1\cdot \frac{1023}{1}=1023\)!

Achar a soma de todos os termos da sequência:

\(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{8}\), \(\frac{1}{16}\)...

Temos como quociente \(frac{1}{2}\) e  \(n\) como infinito:

\(\frac{1}{2}\cdot \frac{{\frac{1}{2}}^{\infty}-1}{\frac{1}{2}-1}\)

\(\frac{1}{2}\cdot \frac{0-1}{-\frac{1}{2}}\)

\(\frac{1}{2}\cdot \frac{-1}{-\frac{1}{2}}\)

\(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}=1\)!

Então é isso!