Desafio I

Qual o valor da fração a seguir?

Resposta no próximo post.

Questões de Olimpíadas e Concursos II

Como eu disse na última parte eu iria trazer sobre raciocínio lógico:

OBMEP 2014 Fase 1 Nível 2 e 3 

Essa questão repercutiu muito no Facebook ano passado. Se você ainda não entendeu como se resolve é só conferir aqui:

3. Cinco meninas não estão totalmente de acordo sobre a data da prova de Matemática.

• Andrea diz que será em agosto, dia 16, segundafeira;
• Daniela diz que será em agosto, dia 16, terça-feira;
• Fernanda diz que será em setembro, dia 17, terçafeira;
• Patrícia diz que será em agosto, dia 17, segundafeira;
• Tatiane diz que será em setembro, dia 17, segundafeira.

Somente uma está certa, e as outras acertaram pelo menos uma das informações: o mês, o dia do mês ou o dia da semana. Quem está certa?

A) Andrea
B) Daniela
C) Fernanda
D) Patrícia
E) Tatiane

Vamos fazer uma tabela com as informações:

Usando a lógica constatamos:

Se Andrea tivesse acertado, Fernanda não teria acertado nenhuma das informações. Então Andrea e Fernanda estão erradas pois elas se contradizem.

Se Daniela tivesse acertado, Tatiane não teria acertado nenhuma das informações. Então Daniela e Tatiane estão errados pois elas se contradizem.

Logo a Patrícia é a única que sobra. Então Patrícia é a que acertou a data da prova de matemática. Logo a resposta é a D.

IBMEC 2008

Partindo de duas ou mais declarações, pode-se obter uma nova declaração unindo as primeiras por meio de conectivos (expressões como e, ou, se... então...).

Essa nova declaração é chamada de tautologia quando for sempre verdadeira, independentemente das declarações que a formaram serem verdadeiras ou falsas.

Assim, a declaração “O céu é azul ou o céu não é azul” é um exemplo de tautologia. 

Dentre as declarações abaixo, assinale aquela que representa uma tautologia. 

a) Se o Brasil ganhar da França e a Argentina perder da Itália, então a França ganhará do Brasil. 

b) Se Paulo é brasileiro e tem mais de 18 anos, então ele nasceu na Bélgica ou tem mais de 15 anos.

c) Se João tem dois ou mais filhos, então ele tem quatro filhos. 

d) Se me pagarem RS 500,00 ou me derem a passagem de avião, então eu terei na carteira mais de RS 400,00. 

e) Se o prefeito ou o governador comparecerem, então o presidente não virá.

Resolução:

Consideremos as proposições:

p1: Paulo é brasileiro 

p2: Paulo tem mais de 18 anos 

P3: Paulo tem mais de 15 anos (note que p2 ⇒ p3) 

p4: Paulo nasceu na Bélgica

Temos as tabelas:

Note que(p1 e p2) ⇒ p3

De (p1 e p2) ⇒ (p3), temos (p1 e p2) ⇒ (p3 ou p4). Isto é, se (p1 e p2) é verdadeira, então (p3 ou p4) é verdadeira.

Portanto, (p1 e p2) → (p3 ou p4) é uma tautologia.

Resposta: b

Então é isso.

Questões de Olimpíadas e Concursos I

Hoje eu irei trazer algumas questões de olimpíadas que parecem difíceis mais não são. Hoje eu irei demonstrar problemas de Geometria.

OBMEP - 2013 Fase 1 Nível 3

16- Na figura, as retas DE e DF são paralelas, respectivamente, aos lados AC e BC do triângulo ABC. Os triângulos ADF e DBE têm áreas 16 e 9, respectivamente. Qual é a área do quadrilátero CFDE?

A) 18
B) 21
C) 24
D) 25
E) 27

Os triângulos AFD e EBD são semelhantes pelo lado do triangulo.

A razão das suas áreas é o quadrado da razão de razão de semelhança. Então a razão de semelhança é:

\(\frac{16}{9}={\frac{4}{3}}^{2}\) Logo a razão de semelhança é \(\frac{3}{4}\).

Como CFDE é um paralelogramo temos que CF=ED e daí \(\frac{AF}{CF}=\frac{AF}{ED}=\frac{4}{3}\)

Como os triângulos ABC e ADF são semelhantes, sua razão de semelhança é de:

\(\frac{AC}{AF}=\frac{AF+CF}{AF}=1+\frac{CF}{AF}=1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}\)

Logo a área do triângulo ABC é \({\frac{7}{4}}^{2}\times16=49\).

Logo a área do quadrilátero CFDE é de \(49-\left(9+16\right)=24\).

Assim a alternativa correta é a C.



OBMEP 2014 Fase 1 Nível 2 e 3

5. Na fi gura ao lado, ABCD e EFGC são quadrados de áreas R e S, respectivamente. Qual é a área da região cinza?

a) \(\frac{R+S}{2}\)
b) \(\frac{R-S}{2}\)
c) \(\frac{RS}{2}\)
d) \(\sqrt{RS}\)
e) \(\sqrt{{R}^{2}+{S}^{2}}\)

O lado do quadrado maior é \(\sqrt{R}\) e o lado do quadrado menor é \(\sqrt{S}\).

Traçaremos o segmento BG que divide a região cinza em 2 triângulos, ABG e BFG que cujo as áreas quando somadas resultam na área da região cinza.

A área do triângulo ABG é:

\(\frac{\sqrt{R}\times\sqrt{S}}{2}=\frac{R}{2}\)

A área do triângulo BGF é:

\(\frac{\sqrt{S}\times\sqrt{S}}{2}=\frac{S}{2}\)

Então a área da região cinza é:

\(\frac{R}{2}+\frac{S}{2}=\frac{R+S}{2}\)

Então a alternativa correta é a A.

Então é isso o próximo post será sobre lógica.